Vrai ou faux en justifiant

Bonjour à tous,

voici l'énoncé d'un problème.
Pourriez-vous me dire si mes réponses sont vraies ?
Par contre concernant les justifications je ne sais pas ce que je dois apporter comme élément de réponse ...
Par exemple pour la question 1. je dirais simplement que quand une suite est Décroissante alors un terme est inférieur à son terme précédent.
Quand une suite est minorée alors tous les termes de cette suite sont supérieurs au minorant. Donc plus on avance en rang, plus les termes se rapprochent du minorant et donc la suite converge.
Mais cela suffit il ?
Je vous en remercie par avance pour vos conseils

Enoncé

Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente.
Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée.
Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante.
Si une suite est croissante alors elle est minorée.
Si une suite est croissante alors elle n'est pas majorée.
Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée.

Mes réponses

VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
VRAI

Bonjour,

Attention à l'ordre des mots dans les définitions.

Une suite qui est croissante et majorée converge.

MAIS : Mais une suite convergente et majorée n'est pas obligatoirement croissante.

Pour la 3)

Que penses-tu par exemple de la suite définie comme suit :

U(0) = 1 et U(n+1) = U(n) * (1/2)

////////

Je ne sais pas ce qui est attendu par le prof pour "justifier" les réponses.

Quand la réponse est "faux", on peut probablement le démontrer par un contre-exemple (comme ci-dessus).

Quand la réponse est vraie ... peut être justifier en donnant la ou les propriétés apprises au cours qui permettent de répondre VRAI.

Oups désolé @Black-Jack je n'avais pas vu que tu m'avais répondu ...
En fait je n'ai pas de professeur car je suis un papa qui s'est remis depuis qqs années aux méthématiques par goût ..J'ai acquis des ouvrages de cette spécialité et je fais en sorte de faire un maximum des exercices qui y figurent. Pour certains d'entre eux je vous demande de l'aide pour me guider ou juste pour me dire, selon vous, si mes argumentaires sont justes et\ou suffisants

Concernant la suite que tu me donnes il s'agit d'une suite géométrique de raison 1/2 et de 1er terme 1. La raison étant de 1/2, et $u_0$ positif alors la suite est décroissante. Sa limite est 0. La limite est décroissante et tend vers 0 donc elle converge.

Par contre je ne comprends pas quand tu me dis qu'une suite qui converge et qui est majorée n'est pas obligatoirement croissante. Tu parles d'une suite constante ?

@Chris21300 , bonsoir,

@Chris21300 a dit dans Vrai ou faux en justifiant :

Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante.

Pour prouver que ceci n'est pas exact, tu peux étudier la suite $U_n)$ pour $n∈N∗n\in N^*$ définie par $Un=(−1)nnU_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$

oh purée trop fort @mtschoon
J'étais en train de te répondre et de te dire bien fièrement : bah pourtant elle converge bien et et bien majorée !!!
Puis j'ai relu l'énoncé ... et bam ... ce n'est pas encore de sitôt que je pourrai te contredire avec raison
Merci beaucoup

Bon du coup je vais reprendre toutes les questions V/F et tenter de trouver d'éventuels contre-exemples .. Mais ça sera pour demain .. Là suit kaput
Merci en tout cas et bonne soirée

Bonne soirée à toi @Chris21300 !

@Chris21300 a dit dans Vrai ou faux en justifiant :

Oups désolé @Black-Jack je n'avais pas vu que tu m'avais répondu ...
En fait je n'ai pas de professeur car je suis un papa qui s'est remis depuis qqs années aux méthématiques par goût ..J'ai acquis des ouvrages de cette spécialité et je fais en sorte de faire un maximum des exercices qui y figurent. Pour certains d'entre eux je vous demande de l'aide pour me guider ou juste pour me dire, selon vous, si mes argumentaires sont justes et\ou suffisants

Concernant la suite que tu me donnes il s'agit d'une suite géométrique de raison 1/2 et de 1er terme 1. La raison étant de 1/2, et $u_0$ positif alors la suite est décroissante. Sa limite est 0. La limite est décroissante et tend vers 0 donc elle converge.

Par contre je ne comprends pas quand tu me dis qu'une suite qui converge et qui est majorée n'est pas obligatoirement croissante. Tu parles d'une suite constante ?
Bonjour,

Non,
La suite que je t'ai indiquée est bien majorée par 1.
Cela signifie que tous les termes de la suite sont <= 1 ... et c'est bien le cas.

La suite indiquée est convergente (elle converge vers 0)

Donc cette suite est bien majorée (par 1) et convergente ... et cependant elle est décroissante et pas croissante.

Cette suite est également minorée par 0 ... mais cela n'a pas d'importance pour répondre à la question 3. Cette réponse est FAUX

On a bien une suite majorée (par 1) et cette suite converge ... et elle est décroissante.

Donc à la proposition 3 : il FAUT répondre FAUX.

Merci beaucoup @Black-Jack ... Effectivement expliqué comme cela ça me parrait désormais d'une simplicité enfantine ...
Et dire que j'ai réfléchi sur cette question un certain temps en pensant qu'il devait y avoir "un piège" ... grrrr il me tarde que mes réflexions portent leurs fruits !

Merci en tout cas pour le temps que tu m'as accordé !