Question d'olympiades

Bonjour à toutes et à tous.
a+b+c=2 et ab+bc+ca=1 a, b et c réels
quelle est la valeur maximale de a-b?

j'ai réussi à motrer que a-b est majoré par racine carrée de 2.Mais je n'arrive pas à montrer que c'est la valeur maximale.

Bonjour,

c = 2-a-b
c = (1-ab)/(a+b)

(1-ab)/(a+b) = 2-a-b
développer ...
a²+a(b-2)-2b+b²+1=0
Equation du second degré d'inconnue a -->

a = [(2-b)+/-RC(4+b²-4b+8b-4b²-4)]/2
a = [(2-b)+/-RC(-3b²+4b)]/2

a-b = [(2-b)+/-RC(-3b²+4b)]/2 - b
a-b = [(2-3b)+/-RC(-3b²+4b)]/2

a-b sera max avec le signe + ci-dessus car ...

a-b = [(2-3b)+RC(-3b²+4b)]/2

Il suffit de trouver le max de f(b) = [(2-3b)+RC(-3b²+4b)]/2

f'(b) = (1/2) * [(2-3b)/RC(b(4-3b)) - 3]

f'(b) = 0 pour b = 0,0893164 (arrondi)

Etude du signe de f'(b) --> c'est un maximum.

qui correspond à : a = 1,24401693838 (arrondi)

et c = 0,666666666 (arrondi)

Le max de a-b = 1,1547... arrondi.

Calculs non vérifiés ...

Vérifie quant même si ce n'est pas le minimum de (a-b) qui était demandé, car, dans ce cas on arrive à des valeurs "rondes".
Sauf erreur, on trouve (a-b) min = -1

Merci Black-Jack
Je n'ai pas encore fait le calcul mais l'idée me plaît.