Une inégalité à prouver

Montrer que pour tout réel x on a:

x^6 - x^5 +x^4-x^3+x^2-x +1 》1/2
J'ai essayé de factoriser mais ça n'a pas marché
Merci beaucoup pour votre aide

@galois Bonsoir, marque de politesse à ne pas oublier.

Tu factorises dans la première partie.
$x5(x−1)+x3(x−1)+x(x−1)+12≥0x^5(x-1)+x^3(x-1)+x(x-1)+\dfrac{1}{2} \geq0$
soit
$(x−1)(x5+x3+x)+12≥0(x-1)(x^5+x^3+x)+\dfrac{1}{2} \geq0$
fais ensuite l'étude suivant les valeurs de $x$ .

Bonjour,

Une manière de faire :

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x
= x.(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)
= x.(x-1).(x^4 + x² + 1)

x^4 + x² + 1 > 0 pour tout x de R et donc (x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x ) a le signe de(x.(x-1))

Pour x <= 0 et pour x >= 1, on a donc x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x >= 0
--> x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 >= 1
et a fortiori : x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 >= 1/2

Reste donc à étudier pour x compris dans ]0 ; 1[

Pour x dans ]0;1[ :

Le min de x^6-x^5 est pour x = 5/6 et vaut (5/6)^6 - (5/6)^5 = -3125/46656
Le min de x^4-x^3 est pour x = 3/4 et vaut (3/4)^4 - (3/4)^3 = -27/256
Le min de x^2-x est pour x = 1/2 et vaut (1/2)² - (1/2) = -1/4

Ces minima n'ont pas lieu pour la même valeur de x, néanmoins, on peut en déduire que

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x > - 3125/46656 - 27/256 - 1/4
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x > - 0,422448...
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 1 - 0,422448...
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0,57755...
et donc a fortiori : x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 >= 1/2

@Black-Jack merci vivement