Les suites numériques

[abdoubel12]

Soit la suite (Un) définie par : quelque soit n>= 1, un= 1/n+1 + 1/n+2 +…+1/n+n
Montrer que quelque soit n>=1 , 1/2<=un<1
Montre que (un)est montone et déduire sa nature

[Yann Malabo]

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[Black-Jack]

Bonjour,

Attention, il est impératif d'utiliser correctement les parenthèses.

u(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n)

u(n+1) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

u(n+1) - u(n) = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n))

u(n+1) - u(n) = 1/(2n+1) + 1/(2n+2)- 1/(n+1)

u(n+1) - u(n) = (2n+2+2n+1-4n-2)/(2(n+1)(2n+1))

u(n+1) - u(n) = 1/(2(n+1)(2n+1)) > 0

u(n+1) > u(n)

Et donc, la suite un est croissante.

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u(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n)

chacun des n termes de la somme du second membre est < 1/n
Donc 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n) < n * 1/n
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n) < 1

u(n) < 1

Comme la suite est décroissante, c'est U1 la plus petite valeur.
Et U(1) = 1/2 --> U(n) >= 1/2

On a donc 1/2 <= u(n) < 1

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La suite est croissante et majorée, elle est donc convergente.

Recopier sans comprendre est inutile.