Limu(n+1)=f(un)-suite convergente

Bonjour à tous,

voici mon problème du jour
J'ai rédigé après l'énoncé, mes réponses. Pourriez-vous me dire si mes méthodes sont les bonnes et si elles sont suffisamment justifiées ?
Je vous en remercie par avance

- ENONCE-

On considère la suite $u_n)$ définie pour tout entier naturel n par :
$u_0=24$
$un+1=un+1+12u_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}+12}$
(Pourriez-vous m'indiquer comment coder en latex l'accolage) afin de relier $u_0$ et $u_{n+1}$ ?

**PARTIE 1 : Etude de la convergence

1a.
Déterminer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$

1b.
Montrer que pour tout n entier on a $un≥4u_n\ge4$

1c.
Démontrer que $u_n)$ est décroissante

1d.
En déduire que $u_n)$ converge.

PARTIE 2 : Déterminer la suite

Soit l la limite de $u_n)$
2a.
Démontrer que l est solution de l'équation $l ² = l + 12$

2b.
En déduire la limite de $u_n)$

PARTIE 3 : Déterminer la limite par une seconde méthode

3a.
Montrer que pour tout n entier naturel on a :
$un+1−4=un−4un+12+4u_{n+1}-4=\frac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}$

3b.
En déduire que $un+1−4≤18(un−4)u_{n+1}-4\le\frac{1}{8}(u_n-4)$

3c.
Démontrer par récurrence que $0≤un−4≤208n0\le u_n-4\le\frac{20}{8^n}$

3d.
En déduire la limite de $u_n)$

MES REPONSES

1a. : pas de difficulté
1b. : pas de difficulté (utilisation de la récurrence)
1c

Je compare $un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1. Si la suite est décroissante alors $un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n}\le1$ (on peut utiliser cette méthode car on a prouvé que $(un)≥0)(u_n)\ge0)$

$un+1un≤1⇔un+12un≤1⇔un+12≤un\frac{u_{n+1}}{u_n}\le1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{u_n+12}}{u_n}\le 1\Leftrightarrow \sqrt{u_n+12}\le u_n$ (on conserve l'ordre car $(un)≥0(u_n)\ge0$

Et donc $−u²n+un+12≤0-u²_n+u_n+12\le0$ .
En posant $X=u_n$ on obtient l'inéquation $−X²+X+12≤0-X²+X+12\le0$ (de la forme $ax²+bx+c≤0ax²+bx+c\le0$ )
En calculant le discriminant ( $Δ=49\Delta=49$ ) on trouve 2 racines (-3 et 4) et donc comme n est un entier naturel on conserve n=4.
Comme $\lt0$ alors les branches de la parabole seront tournées vers le bas et la décroissance commencera pour $x=−b2ax=-\frac{b}{2a}$ soit pour $x = 1 / 2$ et donc concernant la suite pour $n≥1n\ge1$

1d.

Comme la suite est décroissante et minorée par 4 alors $u_n)$ converge vers une limite finie $l$ .

2a.

On a $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x+12f(x)=\sqrt{x+12}$ définie et continue sur $[−12;+∞[[-12;+\infty[$ .

Comme $u_n)$ est décroissante, que ses termes sont $≥4\ge4$ et qu'elle a pour 1er terme 24 alors on peut dire que :
$4≤(un)≤244\le(u_n)\le24$ .
$l$ appartient donc à l'intervalle $[4, 24]$ qui est lui même compris dans l'intervalle $[−12;+∞[[-12;+\infty[$ . $f$ est donc continue en $l$ .
On peut utiliser le théorème du point fixe.

$lim⁡n→∞f(un)=f(l)\displaystyle \lim_{n \to \infty}f(u_n)=f(l)$
$lim⁡n→∞un+1=l\displaystyle \lim_{n \to \infty}u_{n+1}=l$

et donc : $l = f (l)$ $⇔l²=l+12\Leftrightarrow l²=l+12$

2b.
En résolvant l'équation $l ² - l - 12 = 0$ on obtient 2 racines $l_1=-3$ et $l_2=4$ .
Comme $l∈[4,24]l\in[4,24]$ alors on retiendra $l_2$ .

Donc $lim⁡n→∞(un)=4\displaystyle \lim_{n \to \infty}(u_n)=4$

3a Pas de difficulté

3b.

J'ai essayé celà mais je n'arrive pas au bout
$un≥4u_n\ge4$
$un+12≥16u_n+12\ge16$
$un+12≥4\sqrt{u_n+12}\ge4$
$un+12+4≥8\sqrt{u_n+12}+4\ge8$
$18(un+12+4)≥1\frac{1}{8}(\sqrt{u_n+12}+4)\ge1$
$18(un+1+4)≥1\frac{1}{8}(u_{n+1}+4)\ge1$
$18un+1−12≥0\frac{1}{8}u_{n+1}-\frac{1}{2}\ge0$
$18(un+1−4)≥0\frac{1}{8}(u_{n+1}-4)\ge0$

Ai je pris la bonne direction ? Je sèche ... J'imagine qu'il faut utiliser le résultat de 3a mais je ne sais pas dans quelle direction aller après ... Un petit indice ?

Bonjour,

Je présume que tu voulais écrire :

$un+1=un+12\displaystyle u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12}$
'''''''''''''
1c:

U(n+1) = sqrt(U(n) + 12)

u(n+1)/U(n) = (sqrt(U(n) + 12))/U(n) > 0

f(x) = sqrt(x + 12)/x pour x >= 4

f'(x) = (x/(2.sqrt(x+12) - sqrt(x+12))/x²

f'(x) = (x-2(x+12))/(2x².sqrt(x+12))

f'(x) = -(x+24)/(2x².sqrt(x+12)) < 0 --> f est décroissante.

f(4) = 1

Et donc f(x) <= 1

f(Un) <= 1

u(n+1)/U(n) <= 1

un est décroissante.
'''''''''''''
2a)

Comme le suite converge, on a lim(n--> +oo) U(n) = lim(n--> +oo) U(n+1) = L

On a donc L = sqrt(L + 12)

L² = L + 12
''''''''''''''
3b)

U(n) >= 4 (comme dans le 1b)
U(n) + 12 >= 16
sqrt(U(n) + 12) >= 4
sqrt(U(n) + 12) + 4 >= 8
1/(sqrt(U(n) + 12) + 4) <= 1/8

(U(n)-4)/(sqrt(U(n) + 12) + 4) <= (1/8).(U(n)-4)
et avec (3a) -->

u(n+1) - 4 <= (1/8).(U(n)-4)
''''''''''''
3c)
Si, pour une certaine valeur k de n on a u(n) - 4 <= 20/8^n qui est vrai, alors :

u(k) - 4 <= 20/8^k
(1/8).(u(k) - 4) <= 1/8 * 20/8^k
(1/8).(u(k) - 4) <= 20/8^(k+1)
et avec le (3b), on a a fortiori :
u(n+1) - 4 <= 20/8^(k+1)

Donc si u(n) - 4 <= 20/8^n est vrai pour n = k, ceest encore vrai pour n = k+1 (1)

On montre que u(n) - 4 <= 20/8^n est vrai pour n = 0 ...
24 - 4 <=? 20/8^0
20 <=? 20/1
20 <=? 20
C'est vrai --> u(n) - 4 <= 20/8^n est vrai pour n = 0 et par (1), u(n) - 4 <= 20/8^n est vrai pour tout n de N (2)

Et on a montré que u(n) >= 4 --> u(n) - 4 >= 0 (3)

(2) et (3) --> 0 <= u(n) - 4 <= 20/8^n
'''''''''''

Bonjour @Black-Jack et merci pour ta réponse.

Oui j'ai fait une faute de frappe désolé...

Concernant ta réponse je l'étudierai demain car vu qu'elle n'est pas tapée en latex j'ai un peu de mal à tout suivre... Je regarderai donc cela à tête reposée demain
Si je ne comprends pas qqch je me permettrait de demander des précisions
Merci encore en tout cas