aire d'un disque et angle


  • M

    Bonjour j'envoi cet exercice particulier car je dois préparer un oral et à vrai dire et honnêtement j'ai rien compris dans cet exo.
    Voici mes tentatives de réponses :Concernant l'exo ce que j'ai pû dire pour l'instant c'est que:
    Aire disque= aire cercle =pi
    La mesure en radian varie sur ]0;pi] donc l'angle alpha est inférieur a 180 degré (pi).
    Aire de la surface quadrillée = Base
    hauteur/2 =B*1/2 puisque h=rayon =1. et puisque la base c'est BC, alors l'aire est BC/2.

    Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp? (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)

    L'exercice:
    Url image :image ABC.png
    https://ibb.co/6wVxv2z
    La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre AAA et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle BAC^\widehat{B A C}BAC dans l'intervalle ]0;π]] 0 ; \pi]]0;π].
    Déterminer un encadrement d'amplitude 10−310^{-3}103 d'une mesure de l'angle BAC^\widehat{B A C}BAC pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.
    Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
    Réponses de trois élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
    Élève 1
    J'ai posé BAC^=α\widehat{B A C}=\alphaBAC=α donc l'aire de ABC=B×h2=sin⁡(α2)cos⁡(α2)A B C=\frac{B \times h}{2}=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)ABC=2B×h=sin(2α)cos(2α).
    L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
    Je résous l'équation
    α2−sin⁡(α2)cos⁡(α2)=sin⁡(α2)cos⁡(α2)\frac{\alpha}{2}-\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)2αsin(2α)cos(2α)=sin(2α)cos(2α).
    Je pose f(α)=2sin⁡(α2)cos⁡(α2)−α2f(\alpha)=2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}f(α)=2sin(2α)cos(2α)2α.
    Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre π2\frac{\pi}{2}2π et π\piπ.
    Jai écrit un programme en langage python.
    Il retourne a=3,14082566319585a=3,14082566319585a=3,14082566319585
    et b=3,141592653589793b=3,141592653589793b=3,141592653589793.
    from math import sin, cos, pi def f(x)f(x)f(x) :
    return 2∗sin⁡(x/2)∗cos⁡(x/2)−x/22 * \sin (x / 2) * \cos (x / 2)-x / 22sin(x/2)cos(x/2)x/2
    def dicho():
    a=pi/2a=p i / 2a=pi/2
    b=pib=p ib=pi
    while b-a>=0.001 :
    m=(a+b)/2m=(a+b) / 2m=(a+b)/2
    if f(m)<0 :
    a=ma=ma=m
    else
    b=b=b=
    return a,ba, ba,b

    Élève 2
    J'ai posé x=BAC^2x=\frac{\widehat{B A C}}{2}x=2BAC donc l'aire de ABCA B CABC est sin⁡(x)cos⁡(x)\sin (x) \cos (x)sin(x)cos(x) et l'aire du secteur hachuré x−sin⁡(x)cos⁡(x)x-\sin (x) \cos (x)xsin(x)cos(x).
    Je résous l'équation x−2sin⁡(x)cos⁡(x)=0x-2 \sin (x) \cos (x)=0x2sin(x)cos(x)=0.
    J'étudie la fonction fff définie par :
    f(x)=x−2sin⁡(x)cos⁡(x)=x−sin⁡(2x)f(x)=x-2 \sin (x) \cos (x)=x-\sin(2 x)f(x)=x2sin(x)cos(x)=xsin(2x) donc
    f′(x)=1−cos⁡(2x)f^{\prime}(x)=1-\cos (2 x)f(x)=1cos(2x).
    Comme la dérivée est positive, fff est strictement croissante.
    D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

    Le travail à exposer
    1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.
    2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.


  • N
    Modérateurs

    @Marvin Bonjour,

    Pour les relations, regarde ce lien : http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/aaaAIRE/Secteur.htm

    Pour les productions des élèves, indique tes remarques.
    Ont-ils répondu à la question posée ?


  • M

    Hello merci beaucoup pour ton aide.
    Si j'ai bien compris, l'angle BAC = alpha (que j'appel k pour écrire facilement).
    du cours on doit avoir 1/2.R²sink=1/2.R²(k-sink).
    d'ou sink= k -sink, ce qui implique k= 2sink (alpha= 2sin alpha). Je n'ai pas l'impression que les élèves ont répondu a la question


  • N
    Modérateurs

    @Marvin

    Tu ne réponds pas aussi à la question.
    De plus, il faut analyser les productions des deux élèves.


  • M

    sin alpha/alpha =1/2 bin oui j'ai oublié ça merci!


  • B

    @Marvin a dit dans aire d'un disque et angle :

    sin alpha/alpha =1/2 bin oui j'ai oublié ça merci!

    Bonjour,

    Non, tu n'as pas fini.

    Tu n'as pas fait ceci (qui est demandé dans l'énoncé)

    "Déterminer un encadrement d'amplitude 10−310^{-3}103 d'une mesure de l'angle BAC^\widehat{B A C}BAC pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée."

    Tu DOIS montrer qu'une seule valeur d'angle convient et en déterminer la valeur (avec la précision demandée)

    Et tu n'as pas non plus répondu à "donner son avis sur les productions d'élèves"

    Bien que là, ce n'est pas clair si il faut ou non obligatoirement le faire ... si on a résolu l'exercice en entier.
    A cause du "et/ou" de la phrase : (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)


  • M

    Ah ok merci, les production d'élève j'ai donné un avis sur ma feuiller j'ai pas taper ici, ok ok merci beaucoup


  • M

    progr trigo 123.png progr trigo 123.2.png
    Ça affiche la courbe de la fonction sin(x)/x et la droite de constante 1/2. On peut voir le point de croisement entre les 2. Et à l'aide d'une boucle for j'estime le point x le plus proche pour lequel f(x) = 1/2.


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