Les différents ensemble de fonctions

[Marvin]

Bonjour j'envoi ce message parce que je suis en M1 maths pour l'enseignement (ici c'est niveau licence l'exo peut -être), je souhaiterai mieux comprendre les ensembles de cet exo(le corrigé n'est pas une priorité pour moi).
J'ai écris quelques exemple ,dites moi ce que vous en pensez svp, ou si vous avez des choses à ajouter ou corriger merci.
Exercice 1.1. Montrer que les ensembles suivants sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels (on précisera le corps $\mathbb{K}$ à chaque fois) :
(i) $\mathbb{R}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels ;
(ii) $\mathbb{R}<em>n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$;
(iii) $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes ;
(iv) $\mathbb{C}<em>n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à $n$;
(v) l'ensemble ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles ;
(vi) l'ensemble $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de la variable réelle;
1
(i) Ex: $P(X)=3X^4$ Coefficient réel, je pourrai écrire $\sqrt{2}{x}^4$
De manie $-3X^4-2X^3+6X^2+5X+1$ aussi
$$
P(X)=a_n X^n+a{n-1} X^{n-1}+\cdots+a{2} X_2+a_1 X+a_0 .
$$

Peut-on écrize $P(X)$ autrement? $a{X}^n+b{X}^{n-1}\dots$ ?
(ii) Exemple si on choisi $n=4$.
$$
R_4[x]=a_4 X^4+a_3 X_3+a_2 X_2+a_1 X+a_0
$$
avec $a_4;a_3$.... qui perivent-être égale à $O$.
(iii) $P(X)=-i{X}^3+3i{X}^2-2i\sqrt{5}X-7i$ (Exemple).

Le cas gènéral (formule) je ne sais pas.
(v) Autre fa çon d'écrire ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ ?

Cet ensemble comprend ces suites par exemple: $2^n=U_n$;
$$
V_n=(-3)^n \ldots
$$

Mais pas la suite $W_n=(-4i{)}^n$
$$
\begin{aligned}
(V i) \text { Ex: } f(x) & =2 x+1 \
f(x, y) & =6 x-3 y
\end{aligned}
$$
(vii) J'ai pas beancoup d'exemple.

[Noemi]

@Marvin Bonsoir,

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[Marvin]

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