k-uplets d'un ensemble fini

[Chris21300]

Bonjour à tous,

un nouveau problème de dénombrement qui me hérisse le poil ...

Enoncé

Pour aller à son travail, Léo rencontre sur son trajet 3 feux tricolores (chacun pouvant être R, O ou V).
On note F={R;O;V} l'ensemble des différentes couleurs d'un feu.

1. écrire un 7-uplet d'éléments de F
2. Un trajet étant une succession de couleurs des feux, combien de trajets différents existe-t-il ?

Mes réponses

1. L'ordre compte et il peut y avoir répétition il s'agit donc bien d'un 7 uplet parmi 3 éléments. Un exemple de 7-uplets serait (V;R;R;V;O;O;V).

2. Le nombre total de trajets serait donc de $3^7=2187$ trajets possibles.

La correction du livre indique que la bonne réponse est $7^3=343$
Je n'arrive pas à comprendre ce résultat.
J'ai fait un arbre de dénombrement.
Au 1er feux il y a 3 possibilité donc $3^1=3$
Au 2° feux il y a 9 trajets possibles (en effet si le 1er feu était V alors le 2° peut être V, O ou R et ainsi de suite) soit $3^2=9$
Au 3° feu avec la même méthode j'obtiens 27 trajets possibles ce qui correspond à $3^3=27$
et ainsi de suite jusqu'au 7° feu .... du coup je ne comprends pas le résultat proposé par le livre .. J'ose espérer qu'il y ait une erreur dans le livre sinon c'est qu'une nouvelle fois je n'ai rien compris

Merci par avance pour votre aide et joyeux Noël à tous !

[Black-Jack]

@Chris21300 a dit dans k-uplets d'un ensemble fini :

Bonjour à tous,

un nouveau problème de dénombrement qui me hérisse le poil ...

Enoncé

Pour aller à son travail, Léo rencontre sur son trajet 3 feux tricolores (chacun pouvant être R, O ou V).
On note F={R;O;V} l'ensemble des différentes couleurs d'un feu.

1. écrire un 7-uplet d'éléments de F
2. Un trajet étant une succession de couleurs des feux, combien de trajets différents existe-t-il ?

Mes réponses

1. L'ordre compte et il peut y avoir répétition il s'agit donc bien d'un 7 uplet parmi 3 éléments. Un exemple de 7-uplets serait (V;R;R;V;O;O;V).

2. Le nombre total de trajets serait donc de $3^7=2187$ trajets possibles.

La correction du livre indique que la bonne réponse est $7^3=343$
Je n'arrive pas à comprendre ce résultat.
J'ai fait un arbre de dénombrement.
Au 1er feux il y a 3 possibilité donc $3^1=3$
Au 2° feux il y a 9 trajets possibles (en effet si le 1er feu était V alors le 2° peut être V, O ou R et ainsi de suite) soit $3^2=9$
Au 3° feu avec la même méthode j'obtiens 27 trajets possibles ce qui correspond à $3^3=27$
et ainsi de suite jusqu'au 7° feu .... du coup je ne comprends pas le résultat proposé par le livre .. J'ose espérer qu'il y ait une erreur dans le livre sinon c'est qu'une nouvelle fois je n'ai rien compris

Merci par avance pour votre aide et joyeux Noël à tous !

Bonjour,

Je présume qu'il y a 7 feux et pas 3 comme tu l'as écrit.

Il y a alors 3^7 = 2187 possibilités.

[Chris21300]

Merci @Black-Jack pour ta réponse ... J'ai efectivement fait une erreur de frappe ...

Du coup mon raisonnement était bon ? Me voila rassuré ... Par contre je suis impressionné par le nombre d'erreurs dans la rubrique correction d'un livre pourtant destiné aux lycéens ...
Bon le principal est que j'aie bien raisonné ...

merci encore !

[Black-Jack]

@Chris21300 a dit dans k-uplets d'un ensemble fini :

Merci @Black-Jack pour ta réponse ... J'ai efectivement fait une erreur de frappe ...

Du coup mon raisonnement était bon ? Me voila rassuré ... Par contre je suis impressionné par le nombre d'erreurs dans la rubrique correction d'un livre pourtant destiné aux lycéens ...
Bon le principal est que j'aie bien raisonné ...

merci encore !

Oui, les erreurs dans les corrections sont souvent très nombreuses.
Généralement, des profs ont rédigé les énoncés ... mais ce sont des élèves qui ont tenté de résoudre les exos et ont compilé les résultats de leurs travaux.
Et pratiquement jamais, les profs n'ont relu les dites corrections.