limite de la fonction ln

bonsoir j'ai un exercice sur les calcules de limite de la fonction ln que n'arrive pas à lever l'indétermination. soit la fonction f définie sur ]0;+oo[ par f(x)=xln(1+1/x²) et f(0)=0

calcule lim xf(x) en +oo et déduire que lim de f(x) en +oo est 0.
montre que lim de f(x) lorsque x tend vers 0 est 0.
pour la question 1 quand je calcule la limite directement je constate qu'on a une forme indéterminée de coût pour lever l'indétermination j'ai pensé à une limite de en qui lim(1+x)/x. =1
x tend vers 0
donc j'ai fait un changement de variable en posant t=1/x² donc x=1/√(t) et lorsque x tend vers +oo t tend vers 0 on aura donc lim ln(1+t)/√(t) lorsque x tend vers 0 donnera 1 on peut en déduire lim xf(x) quand x tend vers+oo donc +oo. c'est ce que j'ai pu faire mais je ne sais pas si mon raisonnement est logique et je n'arrive pas à faire les autres questions.

@jean-12 Bonjour,

En posant : $t=1x2t=\dfrac{1}{x^2}$ ; $x2ln(1+1x2)=ln(1+t)tx^2ln(1+\dfrac{1}{x^2})=\dfrac{ln(1+t)}{t}$
que tu peux écrire :
$ln(1+t)−ln(1)t\dfrac{ln(1+t)-ln(1)}{t}$

@Noemi bonjour
je n'arrive pas à comprendre ce que vous avez faire là

@jean-12

J'ai juste donné des indications pour la première question :
En posant : $t=1x2t=\dfrac{1}{x^2}$ ; $xf(x)=x2ln(1+1x2)=ln(1+t)txf(x)=x^2ln(1+\dfrac{1}{x^2})=\dfrac{ln(1+t)}{t}$
que tu peux écrire :
$ln(1+t)−ln(1)t\dfrac{ln(1+t)-ln(1)}{t}$

ce qui te permet de calculer la limite en utilisant le nombre dérivé.

Indique ce que tu ne comprends pas.

@Noemi donc cette limite donnera 1

@jean-12

Oui, 1.

@Noemi bonsoir
maintenant pour la limite en 0 pourriez vous m'expliquez cette partie aussi ?

@jean-12

$xln(1+1x2)=xln(1+x2x2)xln(1+\dfrac{1}{x^2})=xln(\dfrac{1+x^2}{x^2})$
$xln(1+x^2)-xln(x)$

Je te laisse terminer le calcul de la limite.