isoler 2 inconnu exposant

Bonjour,

Je cherche à résoudre une équation dont les deux inconnus $x$ et $y$ sont des exposants tels que : $a^x) (b^y) = n$ . À noté, que tout les variables de l'équation appartiennent aux entiers positifs.

J'ai donc procéder de cette façon :

objectif 1 : isoler $x$ et $y$
methode que j'ai utiliser pour y parvenir : $ln_a(\frac{n}{b^y})$ et $ln_b(\frac{n}{a^x})$ .

Deuxième objectif 2 : réduire le nombre d'inconnus à 1

méthode utiliser pour y parvenir : substituer $x$ à $y$ et vice-versa
$(alna(nby))(by)=n(a^{ln_a(\frac{n}{b^y})}) (b^y) = n$ et $(blnb(nax))(ax)=n(b^{ln_b(\frac{n}{a^x})}) (a^x) = n$

Troisième objectif : isoler $b^y$ ou $a^x$
Mais à partir de là, je suis bloquer. Ma question est donc : Comment puis-je isoler $b^y$ ou $a^x$ dans la dernière équation ?
Ou si, il y'a une autre méthode plus simple (pratique) je suis preneur.

PS : Je ne sais pas vraiment où mettre mon sujet, mais je l'ai tout de même mis dans la section "logarithme $l n$ " puisque cela traite de l'isolation des exposants.

@djima , bonjour,

Je comprends mal ta question...

Tu veux résoudre une seule équation à 2 inconnues $x$ et $y$ ???? bizarre...

$a^xb^y=n$

Pour le cas où toutes les valeurs qui interviennent sont strictement positives, tu peux transformer :
$ln(a^xb^y)=ln(n)$
$ln(a^x)+ln(b^y)=ln(n)$
$x l n (a) + y l n (b) = l n (n)$

Tu peux exprimer $x$ en fonction de $y$ ou bien $y$ en fonction de $x$ (à condition de ne pas diviser par 0...)

Si tu as une seconde égalité entre $x$ et $y$ , tu obtiens un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre.

Reformule ta question si ce n'est pas de cela dont il s'agit.

Bonjour, @mtschoon et merci pour ta réponse.
Le but est bien de trouver la valeur de $x$ et $y$ .
Voici un exemple de calcule que j'ai fais en tenant compte de tes suggestions (du moins, de ce que j'ai compris) :
$a^x)(b^y)$ = n
$2^x)(3^y) = 2592$

J'espère avoir étais plus compréhensible.

j'isole d'abord $x$ tel que :

$x l n (a) + y l n (b) = l n (n)$
$=\frac{ ln(n) - yln(b)} {ln(a)}$
puis je remplace $x$ dans l'équation tel que :
$(ln(n)−yln(b)ln(a))ln(a)+yln(b)=ln(n)(\frac{ ln(n) - yln(b)} {ln(a)})ln(a)+yln(b) = ln(n)$

j'ai alors une équation à une inconnue et donc je tente d'isoler $y$ cette fois-ci :

$ln(n)−yln(b)ln(a)+yln(b)=ln(n)\frac{ ln(n) - yln(b)} {ln(a)} + yln(b) = ln(n)$

$ln(n)−yln(b)ln(a)+yln(b)ln(a)ln(a)=ln(n)ln(a)\frac{ ln(n) - yln(b) ln(a) + yln(b) ln(a)} {ln(a)} = ln(n) ln(a)$

$−yln(b)ln(a)+yln(b)ln(a)ln(a)=ln(n)ln(a)−ln(n)\frac{ - yln(b) ln(a) + yln(b) ln(a)} {ln(a)} = ln(n) ln(a) - ln(n)$

soit 0 = ln(n) ln(a) - ln(n)

Comme vous pouvez le voir $y$ disparaît de l'équation. Je n'arrive pas à voir mon erreur et à le comprendre.

Bonsoir,

Tu écris :

puis je remplace x dans l'équation tel que :
$((ln(n)−yln(b)ln(a))ln(a)+yln(b)=ln(n)(\frac{(ln(n)−yln(b)}{ln(a)})ln(a)+yln(b)=ln(n)$ (1)
j'ai alors une équation à une inconnue et donc je tente d'isoler y

Mais non mais non.

Tu reprends (1), tu simplifies les ln(a) ... et il te reste :

ln(n) - y.ln(b) + y.ln(b) = ln(n)
ln(n) - ln(n) + y.ln(b) + y.ln(b) = 0
0 = 0

Tu ne vas, sans aucun doute, pas pouvoir isoler y dans une équation qui est une simple identité (0 = 0)

@Black-Jack Dans ce cas comment je peux faire concrètement, je ne comprends rien du tout.
et pourquoi @mtschoon me demande de faire ces "transformation"
Vous n'auriez pas un cours, une vidéo youtube ou quelques chose sur le sujet qui pourrait m'aider, je suis totalement perdu.

Bonsoir,

@djima , je ne te "demande pas" de faire ces transformations, je te propose ces transformations, car c'est une façon de trouver une relation simple entre $x$ et $y$ dans le cas général où toutes les quantités a,b,n, x,y sont des réels strictement positifs.

Mais, est-ce vraiment ça ta question ? ? ?
Vu l'exemple que tu donnes, je ne le pense pas...
IL semble qu'il s'agisse de la décomposition de $n$ en facteurs premiers $a$ et $b$ ...

$2^x)(3^y)=2592$
Dans ce cas, $2592$ est un naturel qui se décompose en facteurs premiers $2$ et $3$ :
$2592=(2^5)(3^4)$
donc : $x = 5$ et $y = 4$ .

Autre exemple du même genre
Chercher $x$ et $y$ naturels tels que $3^x)(5^y)=164025$
$164025$ est un naturel qui se décompose en facteurs premiers $3$ et $5$
$164025=(3^8)(5^2)$
donc $x = 8$ et $y = 2$

Dans l'esprit de ces exemples, $n$ serait un naturel qui se décomposerait en facteurs premiers $a$ et $b$ sous la forme $n=(a^x)(b^y)$ , et $x$ et $y$ seraient les exposants...

@mtschoon Si j'ai pas d'autres relation $x$ $y$ , il est impossible de trouver leurs valeurs ?
précision : C'est moi qui est posé le problème en équation, pensant que cela serait plus simple sinon mon objectif est de trouver la puissance de deux nombres quelconque dont le produit vaut $n$ , tel que $a^x * b^y$ = n.
Par exemple $2^x * 2^y$ = 2592$
le but est de trouver $x = 5$ et $y = 4$ puisque $2^5 * 3^4 = 2592$

La raison de pourquoi je fait cela est que cela me permet de stocker q'un seul nombre au lieu de plusieurs. Cela peut être utile pour stocker des coordonnées géométrique.
Là c'est inutile puisqu'il n'y a que 2 nombres, mais on peut imaginer un truc comme ça : $2^5 * 3^4 * 5^7 * 7^2 = 1 270 080$ . j'aurais simplement à stocker le résultat et à connaitre les nombre premiers.
Donc je me suis dit, si je peux trouver deux puissances inconnues, je pourrais reproduire la même chose sur plus de variables.

Je ne sais pas si c'est faisable ou si c'est beaucoup trop compliqué pour mon niveau mais j'espère que j'aurais apporter une précision qui sera utile à la compréhension des personnes qui me viennent en aident.

@mtschoon Oui, c'est exactement ça. Comme tu l'a dit je cherche l'exposant des facteurs premiers qui composent le naturel $n$ et donc comment puis-je faire cela ?
je sais que je peux trouver les inconnues (par exemple $y$ ) par division successifs tel que :

$n2=nan_2 = \frac{n}{a}$
$n3=n2an_3 = \frac{n_2}{a}$
$n4=n3an_4 = \frac{n_3}{a}$
$b^y = n_4$
puis y = $ln(b^y)$

Mais cela peut être très long, en fonction de la taille d' $y$ , donc j'aimerais savoir, si il y'a une méthode plus optimiser.

@djima ,bonjour,
Pour la décomposition d'un naturel en facteurs premiers, les calculettes actuelles le font.
Pour la mienne, il me suffit d'utiliser "factor", mais cela ne va pas t'aider ...!

A tout hasard, je te mets un lien où l'algorithme en code python permet de faire la décomposition

https://www.codabrainy.com/decomposition-facteurs-premiers/

Bon courage !