Géométrie vectorielle

Bonsoir
Soit l’application f est définie analytiquement par :
x’= 1/2(¥3x -y -¥3)
Y’=1/2(x +¥3y +2¥3-5)
Nb ¥= racine carré

Vérifier f admet un unique point invariant 2 dont on calculera les coordonnées.
Démontrer que fest bijective et déterminer l'expression analytique de sa réciproque
Soient (x, y) et (X, Y) les couples de coordonnées d'un point M dans les repères ( 0 ; vec i ; vec j ) et ( Omega ; vec i ; vec j ) respectivement

Aidez moi avec la question 3 svp

Bonjour,

Ton écriture d'équation est sujette à interprétation.

Est-ce : $\frac{1}{2} (\sqrt{3}.x - y + \sqrt{3})$
ou bien : $\frac{1}{2} (\sqrt{3x} - y + \sqrt{3})$
ou bien autre chose ?

Même confusion possible pour ton y' = ...

@Black-Jack Bonsoir
C'est le premier x' qui est correct mais à la fin c'est
-√ 3 et non pas + √ 3
x'= 1/2( √ 3 .x -y -√ 3 )
Et le y'= 1/2( x + (√ 3 )y +(2 √ 3 ) -5)

@Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

Il manque des éléments à la question 3.

@Noemi
a) Exprimer X et Y en fonction de x et y
b) Déterminer l’expression analytique de f dans le repère (Omega ; vec i ; vec j)

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou, je regarde ton énoncé complété.
Je pense que le but est de trouver la nature de la transformation $f$

Je t'indique quelques pistes/réponses ( il faut tout expliciter, ce que je ne fais pas) que tu as dû trouver aux questions 1 et 2 (que tu dis avoir faites)

Au départ, si j'ai bien lu :
${x′=12(3x−y−3)y′=12(x+3y+23−5)\begin{cases}x'=\dfrac{1}{2}(\sqrt3 x-y-\sqrt 3)\cr y'=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt 3 y+2\sqrt 3-5)\end{cases}$

Pour le 1), en faisant $x^{'} = x$ et $y^{'} = y$ tu as obtenu un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ et après calculs, tu as dû obtenir $x = 1$ $y = - 2$

Le point invariant par $f$ est donc le point $Ω\Omega$ de coordonnées $(1,−2)\boxed{(1,-2)}$
(Je l'ai appelé $Ω\Omega$ , bien que tu ne l'aies pas indiqué, pour que la question 3) ait un sens)

Pour la 2), tu as dû transformer le système pour exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x^{'}$ et $y^{'}$ et tirer les conclusions demandées.

Sauf erreur :
${x=12(3x′+y′−3+4)y=12(−x′+3y′+23−3)\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}(\sqrt3 x'+y'-\sqrt 3+4)\cr y=\dfrac{1}{2}(-x'+\sqrt 3 y'+2\sqrt 3-3)\end{cases}$

@Zeïnab-Mahamadou ,

Pour la 3), tu dois faire un changement d'axes par translation, la nouvelle origine étant le point $Ω(1,−2)\Omega(1,-2)$

Avec les relations usuelles :
$x = 1 + Y, y = - 2 + Y, x^{'} = 1 + X^{'}, y^{'} = - 2 + Y^{'}$

Tu remplaces dans les relations de départ, tu calcules, tu simplifies le mieux possible et tu dois arriver , sauf erreur, à:
${X′=12(3X−Y)Y′=12(X+3Y)\begin{cases}X'=\dfrac{1}{2}(\sqrt 3X-Y)\cr Y'=\dfrac{1}{2}(X+\sqrt 3 Y)\end{cases}$

Ensuite, pour déterminer la nature de $f$ , si j'avais écrit l'énoncé, je demanderais de passer par les nombres complexes ( mais ce n'est pas moi qui est écrit l'énoncé, donc je n'en sais rien...)

Je t'indique une piste possible par les complexes

Soit $Z^{'} = X^{'} + i Y^{'}$ et $Z = X + i Y$

Sauf erreur, Tu dois trouver après calculs :
$X′+iY′=12(3+i)(X+iY)X'+iY'=\dfrac{1}{2}(\sqrt 3+i)(X+iY)$
c'est à dire :
$Z′=12(3+i)ZZ'=\dfrac{1}{2}(\sqrt 3+i)Z$

En mettant sous forme exponentielle,
$12(3+i)=32+12i=eiπ6\dfrac{1}{2}(\sqrt 3+i)=\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac{1}{2}i=e^{i\dfrac{\pi}{6}}$
d'où :
$Z′=eiπ6Z\boxed{Z'=e^{i\dfrac{\pi}{6}}Z}$
Tu obtiens ainsi la forme complexe de $f$ rotation d'angle $Ω\Omega$ et d'angle $π6\dfrac{\pi}{6}$

Je me suis fait plaisir en te présentant cette méthode mais , évidemment, utilise celle que tu as vu en cours (qui peut-être autre..., vu que tu postes en Première...)

Bon travail.

Illustration graphique

@mtschoon
Merci beaucoup monsieur

De rien @Zeïnab-Mahamadou , mais ce n'est pas "monsieur", c'est "madame"...

@mtschoon Bonjour madame comment vous allez ?

@medou-coulibaly , bonjour,

ça va ,ça va, ...mais... c'est vraiment toi qui poste cet exercice très simple sur "Probabilité de la terminale" alors que tu as le Bac scientifique depuis un ou deux ans (vu que depuis l'an passé, tu postes en Supérieur) ?
C'est bizarre...
Bonne journée.

@mtschoon
Bonjour madame je voulais faire une revérification avec ce que j'ai fait.merci

OK.
Bon week-end @medou-coulibaly

@mtschoon Madame jusque-là j'ai fait un poste il n'y pas de réponses dessus, sur l'algèbre

@mtschoon D’accord c’est noté
Merci madame