suite numérique exercice

[jean 12]

bonsoir j'ai un exercice de suite que n'arrive pas à comprendre certaines parties.
soit une suite de terme générale Un , n appartient N* définie par U1=1/2 et Un=(n+1)Un/2n

1. calculer U2, U3 et U4
2. démontre que par récurrence que pour tout entier naturel non nul , 0<Un+1<Un
   réponse
3. ona U2=1/2 , U3=1/4 et U4= 1/8
4. soit la proposition (Pn): 0<Un+1<Un
   vérifions que U1 est vraie
   on a 0<1/2<1/2
   donc U1 est vraie
   supposons que Pn+1 est vraie c'est à dire
   0<Un+2<Un+1 ona Un+2=(n+2)Un+1/2n+2
   en partant de l'hypothèse de récurrence on
   0<Un+1<Un
   comme n+2>0 en multipliant par n+2 l'inégalité ne va pas changer on aura donc
   0<(n+2)Un+1<(n+2)Un ensuite je vais multiplier par 1/2n+2 on a
   0<(n+2)Un+1/(2n+2)<(n+2)Un/(2n+2)
   ce qui donnera 0<Un+2<(n+2)Un/(2n+2)
   maintenant arrivée ici je ne trouve l'expression de Un dans l'inégalité qui est à droite et j'aimerais avoir votre aide.

[Noemi]

@jean-12 Bonsoir,

1. Vérifie les calculs pour $U_3$ et $U_4$.
2. Si l'inégalité est stricte l'inéquation n'est pas vérifié pour $U_2$
   Il reste à montrer que
   $\frac{n+2}{2(n+1)}<\frac{n+1}{2n}$

Ne pas oublier de démontrer que $U_n>0$.

[jean 12]

@Noemi bonsoir
l'inégalité n'est pas stricte mais pour faire la démonstration je peux dire que
n+2<n+1 maintenant comment faire pour trouver l'inégalité

[Noemi]

@jean-12

L'inégalité se simplifie :
$\frac{n+2}{2(n+1)}<\frac{n+1}{2n}$
$\frac{n+2}{(n+1)}<\frac{n+1}{n}$
comme $n$ est strictement positif,
il reste à vérifier que :
$n(n+2)<(n+1{)}^2$
...