Terminale terminale terminale

[Zeïnab Mahamadou]

Bonsoir
soit a > 0, A, B, C trois points du plan tels que AB = 4a, AC = 3a, BC = 5a

Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que: MA ^ 2 + MB ^ 2 - 3MC^ 2 = 5a ^ 2
Aider moi svp j’ai trouver $ MG^2 = -6a^2 $ où G est le barycentre des points A B et c…
Soit l’ensemble vide , ce qui est faux je pense comme on a demandé de construire

[Black-Jack]

Bonjour,

Méthode parmi d'autre.

On reconnait le triplet Pythagoricien (3a, 4a, 5a) et donc le triangle ABC est rectangle en A.
Dans le repère adéquat, on a : A(0 ; 0), B(4a ; 0) et C(0 ; 3a)
Avec M(X;Y), il vient :
MA² = X²+Y²
MB² = (X-4a)² + Y²
MC² = X² + (Y-3a)²

MA² + MB² - 3.MC² = 5a
X²+Y² + (X-4a)² + Y² - 3 * (X² + (Y-3a)²) = 5a²
développer et simplifier -->
X² + Y² + 8aX - 18 aY = -16a²
(X+4a)² + (Y-9²)² = 81a²

Le lieu de M est donc (dans le repère décrit), un cercle de centre (-4a ; 9a) et de rayon 9a

[Black-Jack]

Rebonjour,

J'ai oublié de joindre le dessin accompagnant ma réponse, le voici :

[Zeïnab Mahamadou]

@Black-Jack bonsoir
Merci
L’exercice c’est sur le barycentre , vous pouvez y procéder par la méthode de barycentre svp ?

[Zeïnab Mahamadou]

@Zeïnab-Mahamadou bonsoir
J’avais fait une erreur de signe à la fin de mon calcul, maintenant que j’ai arranger c’est 6a^2
Ça pourrait être correcte

[mtschoon]

Bonjour,
@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Terminale terminale terminale :

@Black-Jack bonsoir
Merci
L’exercice c’est sur le barycentre , vous pouvez y procéder par la méthode de barycentre svp ?

Je t'indique des pistes avec la méthode des barycentres.

$G$est le barycentre de $(A,1),(B,1),(C,-3)$
Avec la propriété d'associativité des barycentres, $G$ est le barycentre de $(I,2),(C,-3)$ en appelant I le milieu de $[AB]$
En utilisant ton cours, tu trouveras :
$\overrightarrow{IG}=3\overrightarrow{IC}$

Tu transformes la relation de l'énoncé avec la formule de Leibniz (voir cours)
$M{A}^2+M{B}^2-3M{C}^3=(1+1-3)M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2-3G{C}^2$
D'où :
$-M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2-3G{C}^2=5a^2$
Après transformation, tu obtiens :
$M{G}^2=-5a^2+G{A}^2+B{G}^2-3G{C}^2$
Il te reste à calculer $G{A}^2,G{B}^2,G{C}^2$ en fonction de $a$

[mtschoon]

Pour cela , tu peux compléter le schéma en plaçant les points $D$ et $E$ pour former un rectangle et calculer avec le théorème de Pythagore dans des triangles rectangles.

Je t'indique ce que j'ai trouvé :
$G{A}^2=97a^2$
$G{B}^2=145a^2$
$G{C}^2=52a^2$

Ainsi :
$M{G}^2=-5a^2+97a^2+145a^2-156a^2$
$M{G}^2=81a^2$
$\boxed{MG=9a}$
L'ensemble des points M est le cercle de centre $G$ et de rayon $9a$ (à tracer dans le schéma).

Bons calculs.

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon bonsoir
Merci beaucoup
Je m’étais trompé sur BG^2 j’ai trouvé 70 au lieu de 145 je vais revoir mes calculs

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon comment je fais pour construire le point G
Je vais essayer de le construire le temps que vous me répondez

[Noemi]

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Pour construire le point $G$ utilise la relation : $\overrightarrow{IG}=3\overrightarrow{IC}$

[mtschoon]

@Zeïnab-Mahamadou , j'espère que tu as trouvé maintenant tous les éléments qui te posaient problème.

Bon travail.

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon ouiii merci beaucoup
En plus on nous a amené le même exercice en devoir ce matin

[mtschoon]

Ravie que tu aies bien compris ce DM @Zeïnab-Mahamadou
Tu as fait du bon travail.
J'espère que ton devoir de ce matin s'est bien passé .