Dm de maths terminale

Bonjour, j'ai un dm de maths mais je n'arrive pas du tout a me lancer, voici l'énoncé :
Un cylindre de 10 cl de haut et de 3 cm de rayon est rempli d'eau jusqu'à une hauteur de 2,2 cm.
On plonge dedans une bille sphérique de rayon x appartenant a l'intervalle [0;3].
On peut alors remarquer que le niveau monte dans le cylindre. Le but du problème est de déterminer le rayon x pour lequel la bille affleure la surface de l'eau.

Determiner le volume d'eau.
Determiner la hauteur totale h d'eau dans le cylindre en fonction de x lorsque l'on ajoute une sphère de rayon x.
Donner une condition sur h et x pour que la bille affleure la surface de l'eau.
montrer que la bille de rayon x affleure lorsque 4/27 x³+ 2,2-2x =0
Résoudre le problème.

Pour la question 1) j'ai trouver une volume de 99/5 Pi mais je ne sais pas si c'est bon.
Pour la question 2) je bloque un peu mais j'ai trouvé h=317/15 x en faisant h=V/(Pi×r²) mais je ne suis vraiment pas sure que ce soit la bonne méthode.
Pour le reste des question je n'ai pas compris ce qu'il fallait faire.
Si quelqu'un peut m'aider je le remercie d'avance de prendre de son temps.

@lilouche Bonjour,

Tu as écris 10cl, je suppose que c'est 10 cm.

Précise l'unité du volume, le calcul est juste.
Il faut calculer le volume de la bille, puis le volume bille + volume d'eau.
Ensuite tu exprimes $h$ en fonction de $x$ .

@Noemi Bonjour,
oui c'est bien en cm
Comment je connais l'unité du volume?
et comment je peux faire pour calculer le volume de la bille sans connaître son rayon?

@lilouche

Pour le volume, si toutes les unités sont en $c m$ , le volume est en $cm^3$ .
Pour le volume de la bille de rayon $x$ , tu appliques la formule :
$\dfrac{4}{3}\pi r^3$ , soit si $r = x$ :

$V=43πx3V=\dfrac{4}{3}\pi x^3$

@Noemi Pour la 3) j'ai mis que si h=2x alors la bille affleure la surface de l'eau car x = au rayon de la bille donc 2x = diamètre de la bille donc la bille affleurera la surface de l'eau je ne sais pas si mon raisonnement est bon?

@lilouche

C'est juste.

@Noemi d'accord donc si j'ai bien compris le volume de la bille + le volume d'eau = 21Pi × h × x³ donc pour trouver h ça revient a h= 21Pi × x³

@lilouche

Non
Volume de la bille : $Vb=43πx3V_b=\dfrac{4}{3}\pi x^3$

Volume de l'eau : $Ve=995πV_e=\dfrac{99}{5} \pi$

Volume total : .....

@Noemi je trouve 317/15 Pi × x³
mais cela me donne le volume totale avec la bille je n'ai pas déterminé h en fonction de x si?

@lilouche

Non,

le volume total est $\dfrac{4}{3}\pi x^3 + \dfrac{99}{5} \pi$
Et
$\pi r^2h$ ,
donc
$πr2h=43πx3+995π\pi r^2h=\dfrac{4}{3}\pi x^3 + \dfrac{99}{5} \pi$
Tu simplifies le $π\pi$ , tu isoles $h$ et tu remplaces $r$ par $3$ .

@Noemi je suis désolé mais je ne sais pas comment simplifier le Pi

@lilouche

$πr2h=43πx3+995π\pi r^2h=\dfrac{4}{3}\pi x^3 + \dfrac{99}{5} \pi$

$π\pi$ est présent dans chaque terme, donc si on divise par $π\pi$ , l'expression devient :
$r2h=43x3+995r^2h=\dfrac{4}{3} x^3 + \dfrac{99}{5}$
On isole $h$
Soit
$h=4x33r2+995r2h=\dfrac{4x^3}{3r^2} + \dfrac{99}{5r^2}$
comme $r = 3$ , $r^2=9$

$h=427x3+115h=\dfrac{4}{27}x^3 + \dfrac{11}{5}$

pour la question 4. tu remplaces $h$ par $2 x$
Et $115=2,2\dfrac{11}{5}=2,2$
Tu trouves ainsi l'équation demandée.

Tu résous ensuite pour la question 5, cette équation du troisième degré et tu indiques la réponse au problème.

Tu peux résoudre cette équation en faisant l'étude de fonctions.

@Noemi D'accord merci beaucoup pour votre aide et pour l'étude de la fonction je fait avec le corrolaire du TVI ou je peux trouver en faisant quelque chose de plus simple?

@lilouche

oui, tu peux aussi déterminer les coordonnées des points d'intersections des fonctions :
$=\dfrac{4}{27}x^3$ et
$g (x) = 2 x - 2, 2$

@Noemi merci pour le conseil j'ai essayé d'appliquer le corollaire su TVI. Sachant que la fonction est décroissante puis croissante le corollaire du TVI fonctionne sur les 2 parties de la fonction il y a donc 2 solutions. Le problème étant de trouver le rayon x pour lequel la bille affleure la surface je ne comprends pas comment trouver la solution de x. et je ne sais pas comment déterminer les points d'intersection des fonction f(x) et g(x).

@lilouche

Oui, deux solutions. Tu détermines à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de chacune des solutions.
Idem, si tu détermines les points d'intersections.

@Noemi avec le delta j'ai trouver x1=-3racine de 2/2 et x2= 3racine de 2/2 pouvez vous me dire si mes deux racines sont cohérentes? car je ne vois pas comment faire

@lilouche

oui pour les racines qui annulent la dérivée. Construis le tableau de variations pour $x$ positif.

@Noemi
quand je fait le corollaire du TVI je dois bien le faire pour f(x)=0 ?

@Noemi je n'arrive pas a determiner une valeur approchée avec la calculatrice je ne peux pas rentrer la fraction avec la racine carré dans le mode tableur de la calculatrice

@lilouche

Vu que la fonction décroit de $2, 2$ à $- 0, 6284$ pour $x$ variant de 0 à $322\dfrac{3\sqrt2}{2}$ puis croit de $- 0, 6284$ à $+∞+\infty$ ; la fonction s'annule donc 2 fois.
La première valeur est proche de $1, 24$ et la deuxième valeur de $2, 89$ .
Pour le tableur, il faut prendre des valeurs décimales.

@Noemi merci beaucoup mais donc x prend quelle valeur pour repondre au problème ?

@lilouche

Les deux valeurs sont correctes, tu peux calculer la hauteur pour vérifier.

@Noemi Ah d'accord merci beauciup pour votre aise et votre temps aujourd'hui

@lilouche

C'est parfait si tu as tout compris.