Exponentielle complexe
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Jjoquetino dernière édition par
Bonsoir,
Je dois montrer que la fonction exponentielle ne s’annule pas sur C. Pour cela, je dois calculer son développement de Taylor, supposer qu’il y a un point où la fonction s’annule et montrer alors qu’elle serait identiquement nulle.
Je suis un peu perdu. Je connais le dev de Taylor de la fonction exp. Mais pourriez-vous m’aider pour la suite, je suis un peu perdu.
Merci à vous
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@joquetino Bonsoir,
Indique le développement de Taylor de la fonction exponentielle.
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Jjoquetino dernière édition par
Bonsoir
En 0, on a : exp(x) = ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n∑n=0∞xn/ n!
Pour a différent de 0, on pose h=x-a et on a alors :
exp(x)= exp(a+h)=exp(a)exp(h) =
∑n=0∞\sum_{n=0}^{\infty}∑n=0∞ exp(a)(x−a)n(x-a)^n(x−a)n/ n!Merci
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Avec la formule de Taylor Young
f(x)=f(a)+(x−a)f′(a)+(x−a)22!f′′(a)+......f(x) = f(a)+(x-a)f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + ......f(x)=f(a)+(x−a)f′(a)+2!(x−a)2f′′(a)+......
comme f(a)=f′(a)=f′′(a)=....f(a) =f'(a)= f''(a) = ....f(a)=f′(a)=f′′(a)=....
tu peux conclure : ...
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Jjoquetino dernière édition par joquetino
@Noemi a dit dans Exponentielle complexe :
Comme f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = 0 par hypothèse, alors f(x) = 0 au voisinage de a.
On a trouvé des poins de f non isolés. Mais f est holomorphe. Par le principe des zéros isolés, f est identiquement nulle.C'est correct ? Par contre, pour utiliser Taylor-Young, il faut se retreindre aux réels, c'est bien cela ?
Merci.
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Oui, il faut se restreindre aux réels.
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Jjoquetino dernière édition par
@Noemi
Ok merci pour votre aide.
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
Peut être à coté de ce qui est attendu.
Exponentielle sur C comme le titre du topic l'indique.
e(x+i.y)=ex∗ei.ye^{(x + i.y)} = e^x * e^{i.y}e(x+i.y)=ex∗ei.y
e(x+i.y)=ex∗(cos(y)+i.sin(y))e^{(x + i.y)} = e^x * (cos(y) + i.sin(y))e(x+i.y)=ex∗(cos(y)+i.sin(y))Pour que e(x+i.y)=0e^{(x + i.y)} = 0e(x+i.y)=0 il faudrait que :
a) soit que exe^xex soit nul (ce qui est impossible (à montrer par Taylor ou autrement))
b) soit que cos(y)+i.sin(y)=0cos(y) + i.sin(y) = 0cos(y)+i.sin(y)=0 ce qui est impossible car il n'existe pas de réel y qui annule à la fois cos(y) et sin(y) (puisque cos²(y) + sin²(y) = 1 et donc ...)