Nombre complexes et SPD

Bonsoir,
Aidez moi svp avec la méthode de l’expression conjuguée
$−1+i(1+3)1+(3+i)\dfrac{-1+i(1+{\sqrt{3}})}{1+({\sqrt{3}} +i)}$
J’ai trouver $i$ en factorisation puis en simplifiant, mais je n’arrive pas à trouver le résultat en multipliant par l’expression conjuguée.

@Zeïnab-Mahamadou
(-1+i(1+sqrt(3))/1+sqrt(3)+i
= (-1+i(1+sqrt(3))(1+sqrt(3)-i) / (1+sqrt(3)+i)(1+sqrt(3)-i)=(-1sqrt(3)+i+i+sqrt(3)i+1+sqrt(3)i+3i+sqrt(3))/(5+2sqrt(3))
=i(5+2sqrt(3))/(5+sqrt(3))=i
La seule difficulté ici est de bien identifier la partie réelle et la partie imaginaire car les parenthèse sont trompeuses et induisent en erreur car en multipliant par le mauvais conjugué tout est faussé.

@Perelman-dx bonjour
Indique moi la la partie réelle et la partie imaginaire .
Et quel l’est l’expression conjuguée par laquelle on devra multiplier? Parce que là j’arrive à lire l’écriture

@Perelman-dx
J’essaye de la transformer en latex , je sais si ça ça marcher par conte
$(−1+i(1+3)1+3+i=\dfrac{(-1+i(1+{\sqrt{3}})}{1+{\sqrt{3}}+i}=$ $−1+i(1+3)(1+3−i)(1+3+i)(1+3−i)=\dfrac{-1+i(1+{\sqrt{3}})(1+{\sqrt{3}}-i)}{(1+{\sqrt{3}}+i)(1+{\sqrt{3}}-i)}=$ $(−13+i+i+3i+1+3i+3i+3(5+23)=\dfrac{(-1{\sqrt{3}}+i+i+{\sqrt{3}}i+1+{\sqrt{3}}i+3i+{\sqrt{3}}}{(5+2{\sqrt{3}})}=$ $i(5+23)(5+3)=ii(5+2{\sqrt{3}}){(5+{\sqrt{3}})}=i$

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Attention aux parenthèses et les deux derniers éléments sont incorrects.
$(−1+i(1+3)1+3+i=(−1+i(1+3))(1+3−i)(1+3+i)(1+3−i)\dfrac{(-1+i(1+{\sqrt{3}})}{1+{\sqrt{3}}+i}=\dfrac{(-1+i(1+{\sqrt{3}}))(1+{\sqrt{3}}-i)}{(1+{\sqrt{3}}+i)(1+{\sqrt{3}}-i)}$
$=−1+i+i3−3+i3+3i+i+1+3)5+23=\dfrac{-1+i+i\sqrt3-\sqrt3+i\sqrt3+3i+i+1+\sqrt3)}{5+2\sqrt3}$
A simplifier
puis le résultat est bien $i$

@Noemi bonsoir Mercii beaucoup
J’ai vu mon erreur
Je posais $i(1+3)(1+3−i)i(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}-i)$ au lieux de $(1+i(1+3))(1+3−i)(1+i(1+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3}-i)$

@Noemi bonsoir désolé
J’arrive toujours pas a avoir le résultat au numérateur là c’est ça on développe non ? => $(−1+3+1)(1+3−i)(-1+\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3}-i)$

@Zeïnab-Mahamadou

Oui tu développes,
le début, en multipliant par $- 1$ la deuxième parenthèse, on obtient : $−1−3+i-1-\sqrt3+i$
En multipliant par $3\sqrt3$ , ....