Application affine et transformation d’un plan

[Zeïnab Mahamadou]

Bonsoir

Le plan est rapporté au repère orthonorné ( 0 ; vec i ; vec J )

Partie A

1. A tout point M du plan on associe le point M_{1} image de M par la symétrie orthogonale d'axe la droite d'équation y = x puis le point M' image de M_{1} par la symétrie orthogonale d'axe ( 0 ; vec i ).

a) Calculer les coordonnées x' y' de M' en fanction des coordonnées x et y de M.

b) Caractériser l'application qui transforme M en M'.

[Noemi]

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

[mtschoon]

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou , piste pour démarrer,

Schéma pour éclairer,

$M(x,y)$
$M_1(y,x)$
$M^{\prime }(y,-x)$
Peut-être que ton cours te donne la nature du composé de 2 symétries axiales d'axes concourants sinon tu la trouves en raisonnant.

[Zeïnab Mahamadou]

@Noemi bonsoir
C’est que j’arrive pas à démarrer si j’envoie lexo seulement

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon bonsoir
Je sais que la composée de deux symétries est une rotation
Laïus comme vous avez fait pour déterminer les coordonnées de M’ et M_1

[Black-Jack]

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Application affine et transformation d’un plan :

@mtschoon bonsoir
Je sais que la composée de deux symétries est une rotation
Laïus comme vous avez fait pour déterminer les coordonnées de M’ et M_1

Bonjour,

Une rotation, OUI
Mais il faudrait préciser le centre, le rayon et l'angle de cette rotation.

Piste:
Calculer |OM| et |OM'| ...
Et calculer $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{O{M}^{\prime }}$

[mtschoon]

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou , si ton cours le prévoit, tu dois savoir précisemment de quelle rotation il s'agit.

Dans ce cas, tu l'appliques directement :
"Si les droites D et D' sont sécantes en un point O , la composée de la symétrie orthogonale par rapport à (D) suivie de la symétrie orthogonale par rapport ) (D') est la rotation de centre O et d'angle 2 ( D , D' )"

Sinon, tu fais les calculs ; Black-Jack t'a donné une piste éventuelle.

Indique ta réponse sur cette rotation si tu souhaites une vérification.

[mtschoon]

@Zeïnab-Mahamadou , tu indiques ne pas savoir déterminer les coordonnées de $M_1$ et $M^{\prime }$

Je complète de schéma.

Coordonnées de $M(x,y)$ :
$\overline{OH}=x$
$\overline{OK}=y$

Par symétrie par rapport à (D) d'équation y=x (bissectrice de l'angle des deux axes de coordonnées), absisse et ordonnée sont échangées:
$\overline{O{K}_1}=\overline{OH}$
$\overline{O{H}^{\prime }}=\overline{OK}$

Coordonnées de $M_1(x_1,y_1)$ :
$\overline{O{H}^{\prime }}=x_1=y$
$\overline{O{K}_1}=y_1=x$

Par symétrie par rapport à (D')droite portée par l'axe des abscisses) , $M_1$ et $M^{\prime }$ ont mêmes abscisses et des ordonnées opposées.

Coordonnées de $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ :
$\overline{O{H}^{\prime }}=x^{\prime }=x_1=y$
$\overline{O{K}^{\prime }}=y^{\prime }=-y_1=-x$

Regarde tout ça de près.

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon bonsoir
J’avais procédé par l’expression analytique, et j’ai trouvé le même résultat merci

[Zeïnab Mahamadou]

@Black-Jack bonsoir
$\overrightarrow{(OM)}(x;y)$ et $\overrightarrow{(OM’)}(y;-x)$
$\overrightarrow{(OM)}.\overrightarrow{(OM’)}$ = $\overrightarrow{0}$ non ?
Et l’angle n’as pas l’aire d’être nul

[Zeïnab Mahamadou]

@Zeïnab-Mahamadou bonsoir
Voici le reste , aidez moi avec des pistes dans chaque question à partir de 2.
c) Au point M * [[x], [y]] on associe le point N de coordonnées X et Y telles que x = y + 1; y = - x + 1 (1)(c’est un système)
Montrer que cette transformation est une isométrie et la caractériser.

2. Le point M décrivant la droite d'équation y = x déterminer l'ensemble décrit par N. quel est l'ensemble décrit par le milicu du segment [MN]?

3. Au point M [[x], [y]] on associe le point N' de coordonnées ($x’;Y’$) tel que X' = 3y + 1; Y = - 2x + 1 (2)
   (Système aussi)
   a) Quelle est la nature de l'ensemble E des points N' lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1.

b) Caractériser le transformé de E par la transformation (1).

[mtschoon]

@Zeïnab-Mahamadou ,

Attention pour la fin de la partie A)

@Zeïnab-Mahamadou a dit dans Application affine et transformation d’un plan :

$\overrightarrow{(OM)}(x;y)$ et $\overrightarrow{(OM’)}(y;-x)$
$\overrightarrow{(OM)}.\overrightarrow{(OM’)}$ = $\overrightarrow{0}$ non ?
Et l’angle n’as pas l’aire d’être nul

@Zeïnab-Mahamadou , revois ton cours sur le produit scalaire.
Le produit scalaire de 2 vecteurs est un nombre , non un vecteur !

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=xy-yx=0$
Donc vecteurs orthogonaux , donc angle droit.

Evidemment , le produit scalaire ne te dit pas si l'angle droit est "direct" ou "indirect"

Pour avoir le sens de l'angle, analyse le graphique.

[Zeïnab Mahamadou]

@mtschoon bonsoir
Merci j’ai compris , indiquer moi des pistes pour la prochaine question 2.

[mtschoon]

@Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

Avant de regarder tes dernières demandes, merci d'indiquer avec précision la conclusion de la partie A.
Quelle rotation as-tu trouvée ?

[mtschoon]

Re-bonjour @Zeïnab-Mahamadou

Pour la rotation, j'espère que tu as trouvé $O$ pour centre et $-\frac{\pi }{2}[2\pi ]$ pour angle.

Je te démarre la question $2$ si besoin.
Si j'ai bien compris (car ce que tu as écrit n'est pas clair...) , ce que tu cherches :

$M(x,y)$ avec $y=x$ donc $M(x,x)$.
$N(X,Y)$ avec $X=y+1$ et $Y=-x+1$

Si c'est bien ça :
$X=x+1$ et $Y=-x+1$

Donc: $x=X-1$ et $x=-Y+1$

D'où : $X-1=-Y+1$ c'est à dire : $X+Y-2=0$
L'ensemble décrit par $N$ est donc la droite d'équation $X+Y-2=0$

Tu poursuis.

Bon travail.