suite Un+1 par apport a n et Un


  • omar ackerman

    nous avons une suite 40029ae3-5180-44cf-a480-7b40566246b9-image.png
    U(n+1)=sqrt(((Un)^2)+2n+3)
    et U0=1
    prouver qu'elle est arithmétique


  • N
    Modérateurs

    @omar-ackerman Bonsoir, (Marque de politesse à ne pas oublier.

    Une piste :
    Exprime la différence : Un2−U02=...U_n^2-U_0^2= ...Un2U02=...
    En partant de : U12−U02=...U_1^2-U_0^2= ...U12U02=...
    U22−U12=...U_2^2-U_1^2= ...U22U12=...
    .....


  • B

    Bonjour,

    Calcule numériquement les quelques premiers termes de la suite ...

    U0 = 1
    U1 = ... = 2
    U2 = ...
    U3 = ...

    En examinant ces résultats, tu fais une conjecture (supposition) de ce que pourrait être Un ...
    Tu devrais pouvoir "conjecturer" que Un = n + 1

    Il reste à démonter que cette conjecture est correcte ... en la démontrant par récurrence par exemple.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @omar-ackerman , un petit plus si besoin,

    Après avoir conjecturé que Un=n+1U_n=n+1Un=n+1, la récurrence se fait très bien.

    Hypothèse à un ordre n de NNN : Un=n+1U_n=n+1Un=n+1

    Conclusion à prouver Un+1=n+2U_{n+1}=n+2Un+1=n+2

    Piste pour la preuve :

    Un+1=(n+1)2+2n+3U_{n+1}=\sqrt{(n+1)^2+2n+3}Un+1=(n+1)2+2n+3

    Après développement/simplification:
    Un+1=n2+4n+4U_{n+1}=\sqrt{n^2+4n+4}Un+1=n2+4n+4

    On reconnait une identité remarquable sous le radical, qui après simplification, permet de déduire : Un+1=n+2U_{n+1}=n+2Un+1=n+2,

    Bon calcul.


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