Problème d'Arithmétique

[Anas]

Exercice :

soit dans N² le système :

{x + y = 2n ( x - y )² avec n appartient à N*
{PGDC(x ; y) = 1

soit (x ; y ) solution :
a) Montrer que (x - y) est pair et PGDC(x-y ; x) = 1 et | x - y | = 2

  b) Résoudre alors le système

Je bloque sur la démonstration de | x - y | = 2 et la résolution du système, merci d'avance

[Noemi]

@Anas Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier.

Montre que $2$ divise $x-y$ et $x-y$ divise $2$.

[Anas]

Merci infiniment, (je m'excuse pour la marque de politesse ), quant au système, les solutions doivent être en fonction de n ?

[Noemi]

@Anas

Oui, tu dois trouver si $x<y$ ; $x=4n-1$ et $y=4n+1$.
et si $y<x$ ; $x=4n+1$ et $y=4n-1$

[Anas]

@Noemi Merci Beaucoup

[Anas]

@Noemi a dit dans Problème d'Arithmétique :

@Anas Bonjour, (Marque de politesse à ne pas oublier.

Montre que $2$ divise $x-y$ et $x-y$ divise $2$.

Bonjour, je m'excuse sincèrement pour le dérangement.
Pour montrer que |x - y| = 2, on montre que | x - y| divise 2, et 2 divise |x - y|, on a montré que ( x - y) est paire, donc 2 divise |x - y|, or, je ne sais pas comment procéder pour montrer que |x - y| divise 2.

Je m'excuse encore une fois pour le dérangement, merci d'avance.

[Noemi]

@Anas

$|x-y|$ divise 2 si $|x-y|\le 2$ en prenant en compte l'autre condition, tu déduis : $|x-y|=2$

Tu peux aussi à partir de $|x-y|\le 2$ étudier les trois cas possibles.

[Anas]

@Noemi Merci Beaucoup