Exercice de DM sur les suites

Bonjour à tous , j’ai un exercice sur les suites auquel personnes n’arrive a m’aider qui est compliqué est-ce que quelqu’un y arriverait ? Voici :
1.a) Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= 1/6(2x^3-3x^2+x)
Démontrer que , pour tout x appartenant à R , f(x+1)=x^2 (on admet que (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
b) En déduire que pour tout n appartenant à N* , 1^2+2^2+n^2= n(n+1)(2n+1)/6
c) Application : calculer 1^2+2^2+…+15^2
2.a) Soit g la fonction définie sur R par : g(x)= 1/4x^2(x+1)^2
Démonter que pour tout x appartenant à R , g(x+1)-g(x)=x^3
b) En déduire que pour tout n appartenant à N* , 1^3+2^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4
c) Application : calculer 1^3+2^3+…+10^3

@mathilde-sia Bonjour,

1.a) $\dfrac{1}{6}[2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1]= ...$
Vérifie l'énoncé.
Faut-il démontrer que $f(x+1)-f(x)=x^2$ ?

@Noemi oui il faut mais je ne sais pas comment m’y prendre tu as une idée ?

@mathilde-sia

Développe $f (x + 1)$ , puis simplifie l'expression $f (x + 1) - f (x)$ .

Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.

Bonjour , merci pour votre réponse
J’ai commencé mais je n’arrive pas à développer pour obtenir x^2
Voici ce que j’ai fait :
f(x+1)-f(x)=1/6[2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1]-1/6(2x^3-2x^2+x)
=1/6[2*(x)^3+3*(x)^21+3x*(1)^2+1^3)-3(x+1)^2+x+1]-1/6(2x^3-2x^2+x)
Voilà je n’y arrive plus je m’embrouille dans les calculs et je n’arrive pas à x^2

@mathilde-sia
$\dfrac{1}{6}[2(x+1)^3-3(x+1)^2+x+1]-\dfrac{1}{6}(2x^3-3x^2+x)$

$\dfrac{1}{6}[2(x^3+3x^2+3x+1)-3(x^2+2x+1)+x+1-(2x^3-3x^2+x)$

$\dfrac{1}{6}[2x^3+6x^2+6x+2-3x^2-6x-3+x+1-2x^3+3x^2-x)$

$\dfrac{1}{6}(6x^2)=....$

@Noemi Merci beaucoup , pour la 1.b je sais que j’ai f(x+1)-f(x)=x²et que ma somme c'est 1²+2²+...+n² , je pense qu’il faut que je donne des valeurs à x jusqu'a n puis que je sommes le tout mais je ne suis pas sûr de comment bien m’y prendre tu peux vérifier mon raisonnement ? 🥲

@mathilde-sia

Oui, écris
$f(2)-f(1) = 1^2$
$f(3)-f(2) = 2^2$
....
$f(n+1)-f(n) = n^2$

fais la somme

Bonjour j’ai fais , f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+…-f(n)+f(n+1)-f(n)
= -f(1)+f(2)-f(2)+f(3)-f(3)+…+f(n)-f(n)+f(n+1)
Mais je ne comprend toujours pas comment avoir n(n+1)(2n+1)/6 ?

@mathilde-sia

Quel résultat as tu obtenu pour cette somme ? terme de gauche ? terme de droite ?
Simplifie l'expression.

@mathilde-sia

Tu dois trouver :
$f(n+1)-f(1) = 1^2+2^2+3^2+ ....+ n^2$
$\dfrac{1}{6}(2-3+1)=0$
$f(n+1)=16[2(n+1)3−3(n+1)2+n+1]f(n+1)=\dfrac{1}{6}[2(n+1)^3-3(n+1)^2+n+1]$
On met $(n + 1)$ en facteur
$\dfrac{1}{6}(n+1)[2(n+1)^2-3(n+1)+1]$
Il reste à développer et simplifier le terme entre crochets.
....

Mercii beaucoup j’ai réussi mais maintenant je bloque à la 2.b) je n’arrive pas à développer pour obtenir n^2(n+1)^2/4
J’ai commencé :
f(1)=1/4 [1(1-1)]=0
f(n+1)=1/4[(n+1)^2(n+1-1)^2]
Et après je bloque j’ai du mal en calcul littéral :((

@mathilde-sia

Pour la fonction $g$ , il faut calculer :
$g (1) - g (0) = . . . .$
$g (2) - g (1) = . . . .$
...
$g (x) - g (x - 1) = . . . .$