Polynômes : déterminer les coefficients

[-lala-o]

Bonjour, voici l'exercice que je ne comprends pas :
Soit le polynôme : $P(x)=x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$.
Déterminer les coefficients a, b, c, d, e afin que P(x) soit divisible par sa dérivée première.

[Noemi]

@lala-o Bonjour,

Une piste écris et résous un système à partir de
$P(x)=(fx+g)P^{\prime }(x)$

[-lala-o]

@Noemi Bonsoir, je bloque justement à partir de cette étape. Habituellement, je cherche les racines de D(x) et résous les systèmes qui en découlent. Mais dans ce cas, je ne peux pas trouver les racines.

[mtschoon]

@lala-o , bonsoir,

Utilise ce que t'indique @Noemi

Pour tout $x$ réel :
$x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=(fx+g)(5x^4+4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d)$

Tu développes le membre de droite et tu procèdes par identification.

Rappel de la méthode par identification si besoin :
https://www.mathforu.com/premiere-s/factorisation-d-un-polynome-par-identification/

Bons calculs.

[Black-Jack]

Bonjour,

Quelques secondes de réflexion montrent que dans l'équation de mtschoon, on a : f = 1/5 et g.d = e

Cela permet d'alléger les développements pour arriver à l'identification.

Néanmoins, pour procéder à l'identification, tu devrais aboutir à un nombre d'équations inférieur de 1 au nombre de coefficients à trouver.

Cela signifie, que ce ne sont pas des valeurs numériques qu'il faut trouver pour a, b,c d et e mais bien exprimer ces coefficients en fonction d'un autre (par exemple a)

Par exemple : b = 0,4.a² ; c = 0,08.a³ ; d = ...

Cela se trouve en toute fin des calculs décrits ci-dessus.

[mtschoon]

Bonjour tout le monde,

Oui, comme dit @Black-Jack, commencer par trouver $f$ est le mieux.
$\boxed{f=\frac{1}{5}}$ vu que $x^5=(\frac{1}{5}x)(5x^4)$

L'identification de $P(x)$ avec $(\frac{1}{5}x+g)P^{\prime }(x)$ permet d'obtenir un système de 5 équations à 6 inconnues $a,b,c,d,e,g$.
on peut trouver $a,b,c,d,e$ en fonction de $g$ qui sert de paramètre réel.

Sauf erreur, après calculs :
$\boxed{a=25g}$
$\boxed{b=250g^2}$
$\boxed{c=1250g^3}$
$\boxed{d=3125g^4}$
$\boxed{e=3125g^5}$

Quelques illustrations :

Pour $g=0$ (cas trivial)
$a=b=c=d=e=0$
$P(x)=x^5$
$P^{\prime }(x)=5x^4$ et l'on a $P(x)=\frac{1}{5}x{P}^{\prime }(x)$

Pour $g=1$
$P(x)=x^5+25x^4+250x^3+1250x^2+3125x+3125$
$P^{\prime }(x)=5x^4+100x^3+750x^2+2500x+3125$
et l'on a
$P(x)=(\frac{1}{5}x+1)P^{\prime }(x)$

Bons calculs @lala-o .