Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour une équation

[yuki]

j'ai besoin d'aide pour une équation où on me demande de déduire que tan 3x = 3 - tan²x / 1 - 3 tan²x

[Noemi]

@yuki Bonjour,

Il est écrit déduire, donc cette question fait suite à d'autres questions.
Lesquelles ?

Vérifie la relation indiquée :
car $tan(3x)=\frac{3tanx-ta{n}^{3}x}{1-3ta{n}^{2}x}$

Une piste : partir de la relation si connue de $tan(a+b)=...$

[yuki]

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[yuki]

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[yuki]

@Noemi Bonjour ! Voici l'expression : $tan(3x)=tanx\frac{3-ta{n}^{2}x}{1-3ta{n}^{2}x}$ et la question précédente est : écrire cos 3x en fonction de cos x et sin 3x en fonction de sin x

[mtschoon]

Bonjour,

@yuki , j'espère que tu as trouvé :
$cos(3x)=4co{s}^{3}x-3cosx$
$sin(3x)=3sinx-4si{n}^{3}x$

Pour $tan(3x)$, tu peux t'inspirer de la vidéo ici :
https://www.youtube.com/watch?v=_LoxxBCgyo4

[Black-Jack]

Bonjour,

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x) = sin(x).(3-4sin²(x)) = sin(x).(3 - 3sin²(x)-sin²(x)) = sin(x).(3cos²(x) - sin²(x))

cos(3x) = 4cos³(x)-3cos(x) = cos(x).(4cos²(x)-3) = cos(x).(3cos²(x)-3+cos²(x)) = cos(x).(cos²(x) - 3sin²(x))

tan(3x) = sin(x).(3cos²(x) - sin²(x))/[cos(x).(cos²(x) - 3sin²(x))]
tan(3x) = tan(x). (3cos²(x) - sin²(x))/(cos²(x) - 3sin²(x))
tan(3x) = tan(x). cos²(x).(3 - tan²(x))/[cos²(x).(1 - 3tan²(x))]
tan(3x) = tan(x). (3 - tan²(x))/(1 - 3tan²(x))

[yuki]

@mtschoon Oui, j'ai trouvé ces réponses et merci pour le lien. J'ai visionné la vidéo et c'est pile ce que je cherchais

[mtschoon]

@yuki , c'est bien si tout est clair pour toi dans la vidéo.

[yuki]

@Black-Jack Je comprend mais tu pourrais m'expliquer plus en détaille stp, je ne vois pas quelles formules tu as pu utiliser à partir de la 3ème ligne de tan(3x)

[mtschoon]

@yuki , je regarde le calcul dont tu parles.

Tu sais que $tan(3x)=tanx\left[\frac{3co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x-3si{n}^{2}x}\right]$

L'idée est de mettre $co{s}^{2}x$ en facteur au numérateur et au dénominateur de l'expression entre crochets, pour simplifier ces $co{s}^{2}x$, pour trouver ainsi des tangentes.

$3co{s}^{2}x-si{n}^{2}x=co{s}^{2}x(3-\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x})=co{s}^{2}x(3-ta{n}^{2}x)$

De même :
$co{s}^{2}x-3si{n}^{2}x=co{s}^{2}x(1-3\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x})=co{s}^{2}x(1-3ta{n}^{2}x)$

d'où
$tan(3x)=tanx\left[\frac{co{s}^{2}x(3-ta{n}^{2}x)}{co{s}^{2}x(1-3ta{n}^{2}x)}\right]$

Tu simplifies par $co{s}^{2}x$ et c'est terminé.

[Black-Jack]

Bonjour,

En Latex :

$tan(3x)=\frac{sin(x).(3.co{s}^2(x)-si{n}^2(x))}{cos(x).(co{s}^2(x)-3si{n}^2(x)})$
$tan(3x)=tan(x).\frac{3.co{s}^2(x)-si{n}^2(x)}{co{s}^2(x)-3si{n}^2(x)}$
$tan(3x)=tan(x).\frac{co{s}^2(x).(3-\frac{si{n}^2(x)}{co{s}^2(x)})}{co{s}^2(x)(1-3\frac{si{n}^2(x)}{co{s}^2(x)})}$
$tan(3x)=tan(x).\frac{3-ta{n}^2(x)}{1-3.ta{n}^2(x)}$

[yuki]

Merci beaucoup pour votre aide !@mtschoon et @Black-Jack

[mtschoon]

De rien @yuki et bon travail.