Limite limite limite

Bonsoir , aidez moi avec cette limite svp
$limx→∞+lim_{x\to\infty+}$ $x+5cosx−lnx5x+1+ln(x2+1)\dfrac{x+5cosx-lnx}{5x+1+ln(x^2+1)}$

Bonjour,

factorise x au numérateur et au dénominateur

@Wilmat bonsoir je simplifie les x et ensuite??
Si vous pouvez me l’établir ça m’aiderai plus

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Tu utilises les limites de référence.

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou , piste,

$f(x)=x+5cosx−lnx)5x+1+ln(x2+1)f(x)=\dfrac{x+5cosx-lnx)}{5x+1+ln(x^2+1)}$
Pour $x≠0x\ne 0$ :
$f(x)=x(1+5cosxx−lnxx)x(5+1x+ln(x2+1)x)f(x)=\dfrac{x\biggr(1+5\dfrac{cosx}{x}-\dfrac{lnx}{x}\biggr)}{x\biggr(5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{ln(x^2+1)}{x}\biggr)}$

$f(x)=1+5cosxx−lnxx5−1x+ln(x2+1)xf(x)=\dfrac{1+5\dfrac{cosx}{x}-\dfrac{lnx}{x}}{5-\dfrac{1}{x}+\dfrac{ln(x^2+1)}{x}}$

Tu cherches la limite de chacune des expressions qui interviennent, lorsque $x$ tend vers $+∞+\infty$

Au final, tu dois trouver $lim⁡x→+∞f(x)=15\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac{1}{5}$

@Noemi , bonjour,

Je n'avais pas vu ta réponse lorsque j'ai commencé à taper...

@mtschoon Bonjour,

Pas de problème.
Une erreur de frappe dans l'écriture de $f (x)$ , un moins est devenu plus.

@mtschoon C’est la fonction cos la et ln(x^2 +1)/x ayi me bloque

@Zeïnab-Mahamadou

Pistes rapides,

$−1≤cosx≤1-1\le cosx\le 1$
Lorsque $x$ tend vers + $∞\infty$ , $cosxx\dfrac{cosx}{x}$ tend vers $0$ (car encadré par deux fonctions qui tendent vers $0$ )

Lorsque $x$ tend vers $+∞+\infty$ , $ln(x2+1)∼ln(x2)∼2lnxln(x^2+1) \sim ln(x^2)\sim 2lnx$
Divise par $x$ , utilise la limite usuelle de $lnxx\dfrac{lnx}{x}$ et déduis que la limite de $ln(x2+1)x\dfrac{ln(x^2+1)}{x}$ vaut 0