Suite numérique pour nnn

Bonsoir
On considère la suite définie par $U n =$ $∑k=1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $1n+k\dfrac{1}{n+k}$ . Cette suite est-elle croissante? Est-elle
convergente ?
Comment montrer qu’elle est convergente ?

@Zeïnab-Mahamadou Bonjour,

Utilise le fait que chaque terme de la suite est inférieur ou égal au premier terme.

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou , pour mieux comprendre, explicite $U_n$

$Un=1n+1+1n+2+1n+3+...+1n+nU_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{n+n}$

Pour prouver que la suite $U_n)$ est croissante, détermine le signe de $U_{n+1}-U_n$

Tu dois trouver $Un+1−Un=1n+n+1=12n+1U_{n+1}-U_n=\dfrac{1}{n+n+1}=\dfrac{1}{2n+1}$

Tu déduis que $Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0$ d'où la conclusion.

Tu peux prouver que la suite $U_n)$ est majorée en utilisant la piste de @Noemi

$Un≤n(1n+1)U_n\le n\biggr(\dfrac{1}{n+1}\biggr)$

donc $Un≤nn+1U_n\le \dfrac{n}{n+1}$

Or, $nn+1<1\dfrac{n}{n+1}\lt 1$ donc $Un<1U_n\lt 1$

La suite $U_n)$ est majorée par $1$

La suite $U_n)$ est croissante et majorée.

Tu peux tirer ainsi la conclusion sur sa convergence.

@mtschoon merci beaucoup

@Zeïnab-Mahamadou
On considère la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 3un − 2 pour n ≥ 0. Déterminer la nature de la suite définie par vn = un − 1, et en déduire l’étude de la convergence de la suite (un).
Vn+1 = 3Vn donc Vn est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme -1
$limx→∞+Vn=−∞lim_{x\to\infty+}Vn=-\infty$
Comment déterminer la limite de Un) svp

@Zeïnab-Mahamadou ,

Vu qu'il s'agit d'un autre exercice, tu devrais ouvrir un autre topic.

@mtschoon C’est dans un mm exercise

@Zeïnab-Mahamadou , pour ton second exercice (qui est donc associé au premier, d'après ce que tu indiques)

Oui, $V_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $V_0=-1$
donc : $V_n=(-1)(3^n)$
La limite de $V_n)$ est bien $−∞-\infty$

Tu peux déduire directement la limite de $U_n)$ :
$V_n=U_n-1$ <=> $U_n=V_n+1$

Vu que $V_n)$ tend vers $−∞-\infty$ , $U_n)$ tend aussi vers $−∞-\infty$

@mtschoon Mercii bien

De rien et bon travail @Zeïnab-Mahamadou