4. Démontrer une inégalité

Démontrer une inégalité

  • C

    Bonjour à tous,

    Voici le problème du jour :

    ENNONCE

    Démontrer que pour tout  t≥0:1−t≤11+t≤1−t+t²\ t\geq0: 1-t \le\frac{1}{1+t}\le1-t+t² t≥0:1−t≤1+t1​≤1−t+t²

    MES REPONSES

    J'ai démontré sans difficulté que 1−t≤11+t1-t \le\frac{1}{1+t}1−t≤1+t1​

    Par contre j'éprouve plus de difficultés pour démontrer la 2° partie.

    Sur mon brouillon je suis parti de 11+t≤1−t+t²\frac{1}{1+t}\le1-t+t²1+t1​≤1−t+t²

    En multipliant chacun des membres par 1+t1+t1+t j'obtiens 1≤(1−t+t²)(1+t)1\le(1-t+t²)(1+t)1≤(1−t+t²)(1+t)

    et en développant le membre de droite 1≤1+t31\le1+t^31≤1+t3

    en soustrayant 1 aux 2 membres 0≤t30\le t^30≤t3

    En divisant les 2 membres par t²t²t² (qui est positif) on obtient 0≤t0\le t0≤t qui est bien la condition de départ.
    Mais pour rédiger ma réponse il faut que je parte de la fin de mon brouillon et que je remonte donc :

    0≤t0\le t0≤t

    en multipliant par t²t²t² : 0≤t30\le t^30≤t3

    Puis j'ajoute 1 : 1≤1+t31 \le1+t^31≤1+t3

    Et c'est à partir de là que je bloque ... auriez-vous un petit indice pour procéder au déblocage ? 🙂
    Merci par avance 🙂

  • mtschoon

    @Chris21300 , bonjour,

    Une piste globale,

    Vu que t≥0t\ge 0t≥0, nécecessairemnt 1+t>01+t\gt 01+t>0

    Par équivalence logique , la double inégalité à trouver équivaut, en multipliant par (1+t) à :

    (1−t)(1+t)≤1≤(1−t+t2)(1+t)(1-t)(1+t)\le 1\le (1-t+t^2)(1+t)(1−t)(1+t)≤1≤(1−t+t2)(1+t)

    En explicitant les membres de droite et de gauche, tu obtiens :
    1−t2≤1≤1+t31-t^2\le 1\le 1+t^31−t2≤1≤1+t3

    Tu peux justifier aisément que cette double inégalité est vraie (par transpositions)
    car :
    1−t2≤11-t^2\le 11−t2≤1 <=> t2≥1−1t^2\ge 1-1t2≥1−1 <=> t2≥0t^2\ge 0t2≥0 (vrai)
    1≤1+t31\le 1+t^31≤1+t3<=>t3≥1−1t^3\ge 1-1t3≥1−1 <=> t3≥0t^3\ge 0t3≥0 (vrai)

    donc, par équivalence logique, la première (celle de ton énoncé) est vraie.

    C 1 réponse
  • B

    Bonjour,

    t >= 0
    t³ >= 0
    t³ + 1 >= 1
    (t+1)(1-t+t²) >= 1
    1 <= (t+1)(1-t+t²)
    et comme (t+1) >= 0, on peut diviser les 2 membres de l'inéquation par (t+1) sans modifier le sens de l'inéquation -->
    1/(t+1) <= 1-t+t²

    • +++++

    Remarque, dans ta tentative de démo, il y a des erreurs.

    Tu ne peux pas diviser (ou multiplier) par t² ... car t² peut être = 0

    C 1 réponse
  • C

    Merci @Black-Jack pour ta réponse .... et de m'avoir montré une erreur dans mon raisonnement 🙂

  • C

    merci @mtschoon pour ton aide 🙂

ar contre 1
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