Système d'équation linéaire

[-lala-o]

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre ce système :
$x+ay+a^{2}z+a^{3}v=1$
$ax+a^{2}y+a^{3}z+v=1$
$a^{2}x+a^{3}y+z+av=1$
$a^{3}x+y+az+a^{2}v+1$
$a\ne 0$

[Noemi]

@lala-o Bonsoir,

Une piste : Tu multiplies une équation par $a$ puis tu soustrais cette nouvelle équation avec la suivante.

Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.

[Black-Jack]

Bonjour,

a * (1) - (2) ---> a^4.v - v = a-1
v(a^4-1) = (a-1)
v(a-1)(a+1)(a²+1) = a-1

--> a = 1 OU v(a+1)(a²+1) = 1

1°) a = 1
Le système est composé de 4 équations identiques : x + y + z + v = 1
On peut donner des valeurs quelconques à 3 des variables ... et calculer la valeur correspondante de la 4 ème.

2°) a diff de 1
--> v(a+1)(a²+1) = 1

a * (2) - (3) ---> a^4z - z = a-1
z(a^4-1) = a-1
z(a-1)(a+1)(a²+1) = a-1
z(a+1)(a²+1) = 1

a * (3) - (4) --> a^4y - y = a-1
...
y(a+1)(a²+1) = 1

a = -1 est impossible car (1) et (2) seraient :
x - y + z - v = 1
-x + y - z + v = 1
et en faisant la somme membre à membres --> 0 = 2 ... ce qui est impossible.

--> y = z = v = 1/[(a+1)(a²+1)]
x = 1 - (a+a²+a³)/[(a+1)(a²+1)]
x = [a³+a²+a+1 - (a+a²+a³)]/[(a+1)(a²+1)]
x = 1/[(a+1)(a²+1)]

on a donc x = y = z = v = 1/[(a+1)(a²+1)] (Avec a différent de -1 et 1 et 0)

Groupement des résultats :

1°) Si a = 1 :
On peut donner des valeurs quelconques à 3 des variables ... et calculer la valeur correspondante de la 4 ème par x + y + z + v = 1

2°) a = 0 est interdit par hypothèse.

3°) a = -1
Le système n'a pas de solution.

4°)
Si a différent de -1, 0 , 1 :
Les solutions sont : x = y = z = v = 1/[(a+1)(a²+1)]

Rien relu ... et donc à vérifier.