Géométrie dans l'espace tétraèdre régulier

Bonjour à tous,
j'envoi ce message parce que je bloque au début de cet exercice.
En effet j'ai voulu décomposé GB,GC,GD en GA+AB...
mais ça n'a servit à rien.
Voici l'exo :
4 Manipuler le tétraèdre régulier
On considère un tétraèdre régulier $A B C D$ , c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont la même longueur.
Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $B C D$ , c'est-à-dire que : $GB→+GC→+GD→=0→\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$ et le point $H$ est défini par : $AH→=34AG→\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AG}}$ .

Démontrer que: $HA→+HB→+HC→+HD→=0→\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{HC}}+\overrightarrow{\mathrm{HD}}=\overrightarrow{0}$ .
Démontrer que: $AB→⋅CD→=0\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$ .
Que peut-on en déduire pour les arêtes opposées du tétraèdre régulier ?
Démontrer que: $AG→⋅BC→=0\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$ , puis que : $AG→⋅BD→=0\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$ .
Que peut-on en déduire sur la position relative de la « médiane» AG du tétraèdre par rapport à la face opposée BCD ?
Coupdepruce Dans un polyèdre, une médiane est unedroite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.
![text alternatif]( url de l'image)

Bonjour,

@Marvin a dit dans Géométrie dans l'espace tétraèdre régulier :

je bloque au début de cet exercice.

@Marvin , je t'explicite un peu la première question (vu que tu bloques) et je te laisse faire les autres.

$V→=HA→+HB→+HC→+HD→\overrightarrow{V}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}$

$V→=HG→+GA→+HG→+GB→+HG→+GC→+HG→+GD→\overrightarrow{V}=\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GD}$

Après simplifications (vu les hypothèses)
$V→=4HG→+GA→\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GA}$

$V→=4HA→+4AG→+GA→\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}$

$V→=4HA→+3AG→\overrightarrow{V}=4\overrightarrow{HA}+3\overrightarrow{AG}$

$V→=4(34GA→)+3AG→\overrightarrow{V}=4(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{GA})+3\overrightarrow{AG}$

$V→=3GA→+3AG→\overrightarrow{V}=3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AG}$

$V→=0→\boxed{\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}}$

CQFD

Bonne suite.