Déterminer le lieu analytiquement

[-lala-o]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la réponse finale de cet exercice :
" Déterminer la podaire d'un foyer d'une ellipse"

Je pense être bloquée à cause de l'algèbre.
Voici ma résolution :

[Noemi]

@lala-o Bonjour,

Regarde ces démonstrations : https://scientificsentence.net/Equations/Astronomie/index.php?key=yes&Integer=ellipse&utm_content=cmp-true

[-lala-o]

@Noemi Bonjour, je ne pense pas devoir utiliser la méthode utilisée dans votre lien pour résoudre cet exercice. Dans tous les autres exercices, nous avons utilisé l'intersection de 2 génératrices alors que dans le lien, on utilise une égalité entre les distances.

[Black-Jack]

Bonjour,

Soit l'ellipse x²/a² + y²/b² = 1
On peut se limiter (pour raison de symétrie) à la moitié supérieure de l'ellipse pour chercher le lieu ...
On écrit l'équation d'une tangente à l'ellipse au point $P(X;\frac{b}{a}\sqrt{a^2-X^2})$ avec X dans [-a ; a]

$T:y=-(x-X).\frac{bX}{a\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

On écrit ensuite l'équation de la droite N, perpendiculaire à T passant par F(c ;0)

$N:y=\frac{a}{bx}.\sqrt{a^2-x^2}.(x-c)$

Un point L du lieu est à l'intersection de T et N, on cherche ses coordonnées qui sont :

$x_L=\frac{a^2{b}^{2}X+a^2(a^2-X^2).c}{b^2{X}^2+a^2(a^2-X^2)}$
$y_L=a.b\sqrt{a^2-X^2.}\frac{a^2-X.c}{b^2{X}^2+a^2(a^2-X^2)}$

Ensuite, calcul long et ennuyeux ... bien que sans difficultés :

On calcule $x_L^2+y_L^2=...$
Et en tenant compte au cours de ces calculs que c² = a² - b², en développant et simplifiant on arrive finalement à :

$x_L^2+y_L^2=a^2$

Le lieu cherché est donc le cercle de centre au centre de l'ellipse et de rayon = a (demi grand axe de l'ellipse)

[Black-Jack]

Bonjour,

Voila les calculs (aux erreurs de recopies près ..)

xL² + yL² = [(a²b²X + a²(a²-X²).c)² + a²b²(a²-X²)(a²-Xc)²]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = [a^4b^4.X² + a^4(a^4+X^4-2a²X²).c² + 2a^4.b²cX(a²-X²) + a²b²(a²-X²)(a^4+X²c²-2a²Xc)]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = [a^4b^4.X² + a^4(a^4+X^4-2a²X²).c² + a²b²(a²-X²)(a^4+X²c²)]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = [a^4b^4.X² + a^4(a^4+X^4-2a²X²).(a²-b²) + a²b²(a²-X²)(a^4+X²(a²-b²))]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = [a^4b^4.X² + a^10+a^6X^4-2a^8.X²-a^8.b²-a^4.b².X^4+2a^6.b².X² + a^8.b²+a^6.b².X²-a^4.b^4.X²-a^6.b².X² - a^4b²X^4 + a².b^4.X^4]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = [a^10+a^6X^4-2a^8.X²-a^4.b².X^4+2a^6.b².X² - a^4b²X^4 + a².b^4.X^4]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = a².[a^8+a^4X^4-2a^6.X²-a².b².X^4+2a^4.b².X² - a²b²X^4 + b^4.X^4]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = a².[X^4(a^4-2a²b²+b^4) -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = a².[X^4(a²-b²)² -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/[b²X² + a²(a²-X²)]²

xL² + yL² = a².[X^4(a²-b²)² -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/[b^4.X^4 + a^4(a²-X²)² + 2a²b²X²(a²-X²)]

xL² + yL² = a².[X^4(a²-b²)² -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/[b^4.X^4 + a^4(a^4-2a²X²+X^4) + 2a²b²X²(a²-X²)]

xL² + yL² = a².[X^4(a²-b²)² -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/(b^4.X^4 + a^8-2a^6.X²+a^4.X^4 + 2a^4b²X² - 2a²b²X^4)

xL² + yL² = a².[X^4(a²-b²)² -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]/[X^4.(b^4+a^4-2a²b²) -2a^4.X²(a²-b²) + a^8]

xL² + yL² = a²

$x_L^2+y_L^2=a^2$