Nombres complexes : résolution d'équations

Bonsoir
Résoudre dans C l’équation $z−2z−1=i\dfrac{z-2}{z-1}=i$

@Zeïnab-Mahamadou Bonsoir,

Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.

@Noemi x+iy-2=ix-y-i

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou ,tu peux continuer avec ton idée de départ si tu le souhaites

Avant de commencer, indique la condition d'existence :

$z−1≠0z-1\ne 0$ c'est à dire $z≠1z\ne 1$
Tu travailles donc sur $C$ -{1}

En posant $z = x + i y$ (avec $x$ et $y$ réels), comme tu l'as fait, tu arrives à :
$x + i y - 2 = i x - y - i$

Tu regroupes les parties réelles et les parties imaginaires
$(x - 2) + i y = - y + i (x - 1)$

Par identification des parties réelles entre elles et des parties imaginaires entre elles , tu obtiens le système :
${x−2=−yy=x−1\begin{cases} x-2=-y\cr y=x-1 \end{cases}$

Tu résous.

Au final, sauf erreur, tu dois trouver :

$z=32+12iz=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i$

Bons calculs.

@Zeïnab-Mahamadou

Une alternative ;
A partir de la condition d'existence de $z$ , on peut résoudre l'équation en $z$ ,
$z - 2 = i (z - 1)$

@mtschoon Mercii beaucoup j’ai compris

@mtschoon et pour
$(z−2z−1)2=i(\dfrac{z-2}{z-1})^2=i$

@Zeïnab-Mahamadou

Tu peux appliquer la même méthode, tu trouves une équation du second degré en
$z$ à résoudre.

@Noemi j’ai trouvé

Ça
$x^2-y^2+1-2x=x^2+y^2-4x+3$
$2 x y - 2 y = 4 y$

@Zeïnab-Mahamadou

Vérifie tes calculs, je ne trouve pas les mêmes résultats.
Tu peux faire les calculs directement avec $z$ .

Bonsoir,

@Zeïnab-Mahamadou , vu qu'il y a des carrés, résoudre l'équation du second degré en $z$ semble le moins compliqué.

Pour $z≠1z\ne 1$ , l'équation se ramène à :
$z-2)^2=i(z-1)^2$

Après développements et transposition , tu dois obtenir, sauf erreur
$1-i)z^2+(2i-4)z+(4-i)=0$
Après calculs , le discriminant vaut :
$Δ=4i\Delta=4i$

Il faut que tu détermines les racines carrées complexes $δ\delta$ et $−δ-\delta$ de $Δ\Delta$

Tu peux utiliser la méthode algébrique, c'est à dire chercher les réels $a$ et $b$ tels que
$a+ib)^2=4i$
Tu peux aussi utiliser la voie rigonométrique/exponentielle, c'est à dire chercher $r$ et $θ\theta$ tels que $(reiθ)2=4i(re^{i\theta})^2=4i$ , c'est à dire $(reiθ)2=4eiπ2(re^{i\theta})^2=4e^{i\dfrac{\pi}{2}}$
Quelle que soit la méthode , après transformations, tu dois arriver à :
$δ=2+i2\delta=\sqrt 2+i\sqrt 2$ et $−δ=−2−i2-\delta=-\sqrt 2-i\sqrt 2$

Avec les formules de résolution usuelles, tu pourras en déduire les solutions $z_1$ et $z_2$ de l'équation proposée.
Evidemment, il faudra ensuite transformer ces solutions pour les mettre sous une forme convenable ( pas de $i$ au dénominateur)

Bons calculs.

@Zeïnab-Mahamadou quant tu auras résolu ton exercice par les méthodes proposées, tu peux aussi procéder ainsi:

pose $Z=z−2z−1Z=\dfrac{z-2}{z-1}$

$Z^2=i$

$Z2=(1+i2)2Z^2=\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2$

d'où $Z_1 et Z_2$

$Z1=z1−2z1−1Z_1=\dfrac{z_1-2}{z_1-1}$

$Z2=z2−2z2−1Z_2=\dfrac{z_2-2}{z_2-1}$

il te reste à trouver $z_1 et z_2$

Bonjour,

@Zeïnab-Mahamadou , j'indique les résultats à trouver, pour vérification :

$z1=32+(1+22)iz_1=\dfrac{3}{2}+\biggr(\dfrac{1+\sqrt 2}{2}\biggr)i$

$z2=32+(1−22)iz_2=\dfrac{3}{2}+\biggr(\dfrac{1-\sqrt 2}{2}\biggr)i$

Bons calculs.