Géométrie : équation d'une ellipse


  • -lala-o

    Bonjour,
    Dans l'exercice ci-dessous, j'obtiens des calculs très compliqués et je n'arrive pas à trouver la solution finale.
    Voici l'énoncé :
    Donnez une équation cartésienne de l'ellipse E sachant qu'elle est centrée à l'origine, qu'elle a ses deux diamètres principaux parallèles aux axes du repère, qu'elle passe par le point C=(−125;65)C = (\frac{-12}{5};\frac{6}{5})C=(512;56) et qu'elle est tangente à la droite d'équation d = 8x +9y =30
    Et voici ma résolution :
    Capture d'écran 2024-05-02 101847.png


  • N
    Modérateurs

    @lala-o Bonjour,

    Dans le calcul de yyy au carré, tu as oublié de mettre le 9 au carré et tu as oublié le B dans la factorisation de X2X^2X2.


  • W

    Bonjour,

    @lala-o : ta seconde ligne est fausse

    14425A+3625B=1  ⟺  144A+36B=25\dfrac{144}{25}A+\dfrac{36}{25}B= 1\iff 144A+36 B =\red{25}25144A+2536B=1144A+36B=25


  • B

    Bonjour,

    x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
    passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
    144b² + 36a² = 25a²b²
    b²=(36a²)/(25a²-144)

    x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
    36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

    On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

    Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

    x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

    En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

    Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
    On développe et on a la solutions positive A = 9

    Et donc a=9=3a = \sqrt{9} = 3a=9=3 ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
    On trouve b = 2

    L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

    Bonjour,

    x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
    passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
    144b² + 36a² = 25a²b²
    b²=(36a²)/(25a²-144)

    x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
    36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

    On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

    Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

    x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

    En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

    Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
    On développe et on a la solutions positive A = 9

    Et donc a=9=3a = \sqrt{9} = 3a=9=3 ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
    On trouve b = 2

    L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1

    On lit :
    " En posant a² = A (donc A = 0 ) " ,
    Petite distraction , je pense.
    Il doit falloir lire : " En posant a² = A (donc A > 0)" ,


  • B

    @mtschoon a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

    Bonjour,

    @Black-Jack a dit dans Géométrie : équation d'une ellipse :

    Bonjour,

    x²/a² + y²/b² = 1 (a et b > 0)
    passe par C(-12/5 ; 6/5) ---> 144/(25a²) + 36/(25b²) = 1
    144b² + 36a² = 25a²b²
    b²=(36a²)/(25a²-144)

    x²/a² + y²*(25a²-144)/(36a²) = 1
    36x² + (25a²-144)y² = 36a² (1)

    On a aussi (éq de la tangente) : y = (30-8x)/9

    Remis dans (1) ---> 36x² + (25a²-144).((30-8x)/9)² = 36a²

    x²(36 + 64.(25a²-144)/81) - x.[480.(25a²-144)/81] - 36a² + 900(25a²-144)/81 = 0

    En posant a² = A (donc A = 0) , in a une équation du second degré en A dont le discriminant doit être nul (puisque un seul point commun entre la tangente et l'ellipse)

    Rho = [480.(25A-144)/81]² - 4.(36 + 64.(25A-144)/81).( - 36A + 900(25A-144)/81) = 0 ...
    On développe et on a la solutions positive A = 9

    Et donc a=9=3a = \sqrt{9} = 3a=9=3 ... et on calcule b avec : b²=(36a²)/(25a²-144)
    On trouve b = 2

    L'équation de l'ellipse est : x²/3² + y²/2² = 1

    On lit :
    " En posant a² = A (donc A = 0 ) " ,
    Petite distraction , je pense.
    Il doit falloir lire : " En posant a² = A (donc A > 0)" ,

    Bonjour,

    Oui, il fallait lire : A > 0


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