Petit exo sur les produits scalaires

Bonjour,

j'aimerai un petit coup de main car je n'ai pas bien compris cet exercice. Merci

Pour determiner les coordonnées du projeté H d'un point P sur une droite (A;u) on peut envisager au moins 3 méthodes:
-méthode 1: écrire des équations de droites et chercher une intersection.
-méthode 2: écrire 2 équation: l'orthogonalité des vecteurs AH et PH et la colinéarité des vecteurs AH et u .
-méthode 3: écrire une équation cartésienne de la droite (A; $^{-> }$ u) et une équation du cercle centré en P contenant H apres avoir calculé PH.

On dispose d'un repère orthonormé du plan (O;i;j), des points A(2;0), B(0;4) et de la droite D(0, vecteur V) avec Xv=3 et Yv=4.

1-Calculer les coordonnées de I projeté de A sur D (méthode 2), de J projeté de B sur D (méthode 1) et de K projeté de O sur(AB) (méthode 3).On vérifira ces résultats graphiquement.
J'ai fait : orthogonalité de AI et u $^{-> }$
I(x,y) et u(4,3)
AI(x-2,y)
AI.u=0
(x-2)4+y*3=0
4y+3x-6=0 => cela correspond à l'équation de AI

u est colinéaire à OI
conditions de coliénéarité: Y/X=Y'/X'
ici 4/3=y/x soit y=4x/3 => c'est l'éqaution de OI

Pour le point I ( méthode 2)

AI-> . ->O->I = 0 (1)
OI-> = kV-> , k (2)

Mises en équations , en appelant (x,y) les coordonnées de I
AI-> (x-2,y)
OI -> (x,y)

Mais après comment faire ???

de J projeté de B sur D (méthode 1)
Recherche de l'équation de (D) , de la forme ax+by+c=0

Un vecteur directeur est V>(3,4) donc -b=3 et a=4 donc b=-3 et a=4
(D) a pour équation 4x-3y+c=0.
Vu que O appartient à (D) , c =0 donc : 4x-3y=0 (1)

Recherche de l'équation de (BJ) , de la forme ax+by+c=0
V>(3,4) est vecteur normal de (BJ) donc a=3 et b=4
(BJ) a pour équation 3x+4y+c=0
B appartient à cette droite donc 3.0+4.4+c=0 c=-16

L' équation de (BJ) est donc : 3x+4y-16=0 (2)

En résolvant le système (1),(2) , j'obtiens les coordonnées de J.
J'ai trouvé J(48/25; 64/25) est ce juste ????

Pour le point K ( méthode 3 )

Recherche de l'équation de (AB) , de la forme ax+by+c=0
AB>(-2,4) donc -b=-2 et a=4 donc b=2 et a=4
(AB) a pour équation 4x+2y+c=0

Une équation de (AB) est 4x+2y-8=0 , c'est à dire 2x+y-4=0 (1)

Recherche de la distance d de O à (AB).
Ici j'ai trouvé d=1/2 => est ce juste

et après je ne vois pas ???

merci de me dire mes erreurs et de m'aider pour la suite svp

salut babs,
pour la première question, tu a l'équation de (AI) et l'équation de (OI), il te suffit de trouver les coordonnées du point d'intersections de ces droite : I. Pour la deuxième question, je suis d'accord avec toi pour les équations de droite mais tu as dû te tromper lors de la résolution du système, refais tes calculs.
Pour la troisième question, pour la distance de O à (AB) je ne suis pas d'accord non plus, applique bien la formule de cours, ensuite il te suffiras d'écrire l'équation du cercle de centre O et de rayon d et de trouver son point d'intersection avec (AB).

merci raycage donc j'ai fais ceci :

Pour le point I ( méthode 2 )
j'ai trouvé :
par définition AI.V=3(xi-2)+4yi=0, de plus on a aussi OI=kV où k est un réel (pour la colinéarité), alors xi=3k de même yi=4k, on a donc un système de 3 équations à 3 inconnues; k, xi et yi
donc :
AI.V=3(xi-2)+4yi=0
AI.V=3(3k-2)+44k = 9k-6+16k = 25k-6
mais après je ne vois pas comment faire

de J projeté de B sur D (méthode 1)
=> j'ai trouvé comme coordonné pour J :
x=48/25 et y=64/25 donc J(48/25,64/25).

et de K projeté de O sur(AB) (méthode 3).
cette méthode impose de calculer OK: c'est la hauteur du triangle rectangle AOB
OK.AB=OA.OB
équation du cercle de centre O et de rayon OK
x²+y²=OK²
on calcule alors l'équation de AB

=>l'équation de (AB) : y=-2x+4, sachant que A(2;0) et B(0;4) appartiennent à (AB)

je reporte dans l'équation du cercle
Puisque par définition, la distance OK=rac[x^2 + (4-2x)^2]=r, où r est le rayon du cercle centré en O et de rayon OK, avec K(x;y)

Pour résoudre le système j'obtiens :
2x+y-4=0 (1)
x²+y²=d² (2) sachant que x²+y²=(rac[x^2 + (4-2x)^2])² = (rac[x^2 + 16-16x+4x²])²
x²+y²=(x+ 4 - 4 rac x + 2x])²=x² + 16 +16 x² +4x²
y²=20x²+16
y= rac [20x² ] + 4

je reporte la valeur trouvé dans (1)
2x + $s q r t$ 20x²) + 4 -4 =0
2x = - $s q r t$ 20x²)
x= - $s q r t$ 20x²) /2 => est ce juste ???

pour le premier point, je ne vois pas pourquoi tu te compliques, tu as l'équation de deux droites dont I est le point d'intersection, ce n'est qu'un système à résoudre.
Pour le deuxième point je ne suis toujours pas d'accord avec ton résultat.
Pour le troisième point, fais très très attention, tes calculs sur la fin font très peur :
y²=a equiv/ y= $s q r t$ a ou y=- $s q r t$ a et non simplement y= $s q r t$ a , en outre $s q r t$ (a+b)= $s q r t$ a+ $s q r t$ b est totalement faux, par contre $s q r t$ ab= $s q r t$ a foi/ $s q r t$ b
en plus tu as des x qui se transforment en x² d'une ligne à l'autre sans raison, donc refais le calcul pour ton équation de cercle, et n'essaie pas d'exprimer y en fonction de x à partir de cette équation, tu vas avoir des racines qui vont te géner, essaie plutôt d'exprimer y en fonction de x dans l'équation de la droite et ensuite de reporter la valeur de y dans l'équation du cercle.

merci Raycage mais j'ai beau refaire mes calculs j'obtiens toujours les m^mes résultats

Pour le point I ( méthode 2)
I(18/25;24/25)

de J projeté de B sur D (méthode 1)
=> j'ai trouvé comme coordonné pour J :
x=48/25 et y=64/25 donc J(48/25,64/25).

et de K projeté de O sur(AB) (méthode 3).
K ( 8/5 , 4/5 )

2-Le point K appartient-il au cercle de diamètre [I,J]?
Pour savoir si K appartient au cercle de diamètre [IJ] j'ai calculé le produit scalaire KI>. KJ>
Sachant que K ( 8/5 , 4/5 ) , J(48/25; 64/25)et I (18/25; 24/25)
donc KI>(-22/25; 4/25) et KJ> (8/25; 44/25)
KI>. KJ> =(-22/25)8/25 + 4/2544/25 = (-176/25) + 176/25 =0

donc l e produit vaut 0 ,par conséquent le point K appartient au cercle de diamètre [IJ]

est ce suffisant comme explication et est ce juste surtout

Oui tes résultats sont justes et les explications paraissent suffisantes, dis juste peut-être pourquoi l'orthogonalité de KI et KJ prouve que K apartient au cercle, par contre fais attention à ce que tu écris :
"I(x,y) et u(4,3)
AI(x-2,y)
AI.u=0
(x-2)4+y*3=0
4y+3x-6=0 => cela correspond à l'équation de AI

u est colinéaire à OI
conditions de coliénéarité: Y/X=Y'/X'
ici 4/3=y/x soit y=4x/3"

heureusement que le vecteur u est en fait le vecteur v(3,4), ce qui par miracle sauve tes calculs

merci raycage mais je ne vois pas comment je peux prouver l'orthogonalité de KI et KJ