Lien entre les entiers consécutifs d'un polynôme

Bonjour,

Je m'interroge sur le lien entre deux termes consécutifs d'une suite définie par $U_n=P(n)$ où P est un polynôme.

J'ai essayé de trouver des relations en tâtonnant entre $U_{n+1}$ et $U_n$ :

$\Leftrightarrow U_{n+1} = U_n + k$
$P(x)=kx2⇔Un+1=Un+k+2knP(x)=kx^2 \Leftrightarrow U_{n+1} = U_n + k + 2kn$
$P(x)=kx3⇔Un+1=Un+k+6k∑i=1niP(x)=kx^3 \Leftrightarrow U_{n+1} = U_n + k + 6k \sum\limits_{i=1}^n i$
$P(x)=kx4⇔Un+1=Un+k+2k[7n+6∑i=1n(n−i)(2i+1)]P(x)=kx^4 \Leftrightarrow U_{n+1} = U_n + k + 2k [7n + 6 \sum\limits_{i=1}^n (n-i)(2i+1)]$

J'aurai aimé savoir si les relations trouvées étaient justes et/ou si elles pouvaient être mieux exprimées.
Également, existe t'il une formule généralisable pour un polynôme quelque soit son degré ?

En vous remerciant par avance des éclaircissements que vous pourrez m'apporter.

@jacques_atique Bonjour,

Les trois premières relations sont correctes.

@Noemi merci pour la confirmation des trois premières.

Pour la quatrième, est ce un problème de borne supérieure de la somme (n-1 plutôt que n) ou est-ce plus géneral. Ça donnerait :
$Un+1=Un+k+2k(7n+6∑i=1n−1(n−i)(2i+1))U_{n+1} = U_n + k + 2k (7n + 6 \sum\limits_{i=1}^{n-1}(n-i)(2i+1))$

Pour $P(x) = 3x^4$ par exemple ça donnerait :
$U_6 = U_5 + 3 + 6 (35 + 6 (4×3 + 3×5 + 2×7 + 9))$
$U_6 = 1875 + 3 + 6 × 335$
$U_6 = 3888$

Mais je pense qu'il y a un problème pour $n = 0$ car écrire $∑i=1−1\sum\limits_{i=1}^{-1}$ n'a sans doute pas de sens.

Je poursuis ma réflexion et reste attentif à vos pistes éventuelles.

Bonjour,

J'ai un peu de mal à voir ce qui est cherché, ou plutôt pourquoi tous ces calculs inutiles alors que n'importe quel U(n) peut être trouvé instantanément.

Par exemple avec P(x) = 3.x^4

En instantané on calcule U(6) = 3 * 6^4 = 3888

Et si on veut (utilité douteuse ???), on a $(\frac{n}{n+1})^3.U(n)$

Pour le cas général de $P(x) = k.x^m$ , on a : $(\frac{n}{n+1})^m.U(n)$

L'utilité de ce qui est demandé m'échappe.

Bonjour @Black-Jack, pardon mais je n'ai pas compris votre réponse.

$U_n$ et $U_{n+1}$ sont à priori des entiers et dans votre formule $(nn+1)m(\frac{n}{n+1})^m$ est inférieur à 1, c'est pourquoi je n'arrive pas à voir comment on arrive de l'un à l'autre.

En ce qui concerne l'utilité, je n'ai pas votre expertise pour en juger, la finalité n'était pas de pouvoir calculer directement un terme mais plutôt de comprendre la relation entre un $U_n$ et le suivant en associant un polynôme et une suite récurrente.

Merci en tout cas de l'attention que vous avez porté à ma question.

Bonjour,

Ma réponse me semblait évidente... en corrigeant les distractions.

Avec $P(x) = k.x^m$

on a immédiatement : $U_n = P(n) = k.n^{m}$
et on a tout aussi immédiatement : $U_{n+1} = P(n+1) = k.(n+1)^m$

en divisant ces 2 relations membre à membre, on a :
$Un+1Un=k.(n+1)mk.nm\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{ k.(n+1)^m}{ k.n^m}$

$Un+1Un=(n+1n)m\frac{U_{n+1}}{U_n} = (\frac{n+1}{ n})^m$

Et donc $Un+1=(n+1n)m.UnU_{n+1} = (\frac{n+1}{ n})^m.U_n$

Par exemple avec $P(x) = 3.x^4$
On a $U_6 = 3.6^4 = 3888$
et $U_7 = 3.7^4 = 7203$
et on peut vérifier que $U7=(6+16)4×3888=7203U_7 = (\frac{6+1}{6})^4 \times 3888 = 7203$

Comme il est possible de calculer simplement directement tous les $U_n$ et qu'on a aussi une relation SIMPLE et UNIQUE qui lie $U_{n+1}$ à $U_n$ , je n'arrive pas à comprendre l'utilité de faire autre chose.

Merci beaucoup @Black-Jack, c'est limpide.
Et bravo pour tout ce que vous faites sur ce forum.