sommes et produits (télescopage)

A=∑ (1/1+K)2 -1/K2 de k=1 à n Bonjour, pour cette somme est ce que je remplace immédiatement (K+1) par n et le K par 1, ou je dois utiliser une autre
méthode
aussi pour celle ci e

∑ek -e(k-1) de k=0 à n+1

@tra-va Bonsoir, (Marque de politesse à ne pas oublier !)

Dans l'expression, les termes sont au carré ?
Ecris la somme en faisant varier $k$ de $1$ à $n$ .

Bonjour,

Je ne fais que passer car je ne suis pas libre...

@tra-va , comme le suggère @Noemi , il doit s'agir de
$A=∑k=1k=n[1(1+k)2−1k2]\displaystyle A=\sum_{k=1}^{k=n} \biggr[\dfrac{1}{(1+k)^2}-\dfrac{1}{k^2}\biggr]$

Pour le télescopage, je te suggère une disposition "verticale" pour bien voir les simplifications (mais ce n'est pas obligatoire !)

Tu disposes les termes $1(1+k)2−1k2\dfrac{1}{(1+k)^2}-\dfrac{1}{k^2}$ , pour $k = 1, k = 2, . . ., k = n$ , les uns en dessous des autres et tu les ajoutes

Pour $k = 1$ $14−11\ \ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{1}$

Pour $k = 2$ : $19−14\ \ \ \ \ \ \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{4}$

Pour $k = 3$ : $116−19\ \ \ \ \ \dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{9}$
........................................
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Pour $k = n - 1$ : $1n2−1(n−1)2\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n-1)^2}$

Pour $k = n$ : $1(1+n)2−1n2\ \ \ \ \ \dfrac{1}{(1+n)^2}-\dfrac{1}{n^2}$

Tu ajoutes "verticalement" et tu dois "voir" les simplifications.
Tu barres $14\dfrac{1}{4}$ avec $−14-\dfrac{1}{4}$ , $19\dfrac{1}{9}$ avec $−19-\dfrac{1}{9}$ , etc, etc, ...

Lorsque tu auras compris, il doit te rester :

$A=1(1+n)2−11=1(1+n)2−1A=\dfrac{1}{(1+n)^2}-\dfrac{1}{1}=\boxed{\dfrac{1}{(1+n)^2}-1}$

Bonne réflexion.