Majoration/Minoration

Bonjour,
J'ai un exercice à résoudre que je sais faire "intuitivement" mais je me demande comment on le rédige proprement. C'est un exo relativement facile mais c'est vraiment au niveau de la rédaction que je bloque.

Voilà l'énoncé :

Montrer que pour tout réel x :
| sin(x)^12 - 2(cos(x)^9) | est inférieure à 3

Ma résolution:

J'ai dis que d'une part sin(x) varie entre -1 et 1 donc sin(x)^12 varie entre 0 et 1 car la puissance est pair (donc valeur positif).

D'autre part cos(x) varie entre -1 et 1 donc cos(x)^9 varie entre -1 et 1 (puissance impaire conserve le signe) donc -2(cos(x)^9) varie entre -2 et 2.
En ajoutant membre à membre on obtient que l'expression sin(x)^12 - 2(cos(x)^9) varie entre -2 et 3 et donc entre -3 et 3 (transitivité de l'inégalité) donc | sin(x)^12 - 2(cos(x)^9) | est inférieure a 3.

Ma rédaction n'est pas hyper bien surtout au début je voulais savoir comment on rédigeait sa parfaitement, avec toutes les justifications bien comme il faut. Je veux vraiment être au point sur sa.

D'avance merci.

@André-mathis Bonjour,

La résolution est correcte, écris les inégalités et les propriétés utilisées.

Bah justement c'est sa que j'ai du mal à exprimer est que tu pourrais me faire un début "correctement" rédigé pour montrer par exemple que sin(x)^12 varie entre 0 et 1 et je m'adapterai pour la suite.
D'avance merci

@André-mathis

Pour tout $x$ réel, $−1≤sin(x)≤1-1\leq sin(x) \leq 1$
donc $0≤sin2(x)≤10\leq sin^2(x) \leq 1$ et $sin^{12}(x)=(sin^2(x))^6$
donc $0≤sin12(x)≤10\leq sin^{12}(x) \leq 1$

même démarche avec :
Pour tout $x$ réel, $−1≤cos(x)≤1-1\leq cos(x) \leq 1$

Merci beaucoup !

@André-mathis

Indique tes calculs si tu souhaites une vérification.