3. suite avec intégrale

suite avec intégrale

  • requin yao

    bonsoir j'ai un exercice que je ne comprends pas et j'aimerais avoir des indications afin de commencer à traiter.
    On a In= intégral de 0 à 1 de 1/(1+x²)^n dx , n appartient à N.
    trouver une relation entre In et In+1 puis calcule I1 et I2
    Merci d'avance

    N 1 réponse
  • B

    Bonjour,

    In=∫011(1+x2)ndxI_n = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dxIn​=∫01​(1+x2)n1​dx

    IPP en posant :
    u=1(1+x2)nu = \frac{1}{(1+x^2)^n}u=(1+x2)n1​
    et
    dx=dvdx = dvdx=dv

    ...

    On aboutit alors à une relation entre InI_nIn​ et In+1I_{n+1}In+1​

    requin yao 1 réponse
  • requin yao

    @Black-Jack bonsoir
    l'intégration par partie elle se fait sur In ou sur In+1 ?

  • B

    Sur InI_nIn​

    requin yao 2 réponses
  • requin yao

    @Black-Jack d'accord merci beaucoup j'ai des préoccupations je reviendrai vers vous

  • requin yao

    @Black-Jack bonsoir
    la partie où vous dites dx=dv je n'arrive pas à bien saisir je pensais que on devait plutôt choisir comme V'=1 ?

  • N
    Modérateurs

    @requin-yao Bonsoir,

    Intégre la relation : 1(1+x2)n=1(1+x2)n−1−x2×2x(1+x2)n\dfrac{1}{(1+x^2)^{n}}=\dfrac{1}{(1+x^2)^{n-1}}-\dfrac{x}{2} \times \dfrac{2x}{(1+x^2)^{n}}(1+x2)n1​=(1+x2)n−11​−2x​×(1+x2)n2x​

    requin yao 1 réponse
  • requin yao

    @Noemi bonsoir
    j'ai déjà calculer l'intégrale en faisant une intégration par partie et je trouvé 1/(2)^n+2n×(intégrale de 0 à 1 de (2x^2)/(1+x²)^(n+1) maintenant arrivé ici je n'arrive pas à trouver la relation entre In et In+1

    N 2 réponses
  • N
    Modérateurs

    @requin-yao

    Soit tu fais une autre intégration par partie sur l'intégrale trouvée ;
    soit
    tu utilises la relation que j'ai indiquée, tu peux écrire In=In−1+....I_{n}=I_{n-1}+ ....In​=In−1​+...., il reste à calculer par intégration par parties la dernière expression écrite sous la forme U×V′U\times V'U×V′.

  • B

    Bonjour,

    J'ai pourtant clairement indiqué la route :

    u = 1/(1+x²)^n
    du = -2nx/(x²+1)^(n+1) dx

    dv = dx
    v = x

    ∫u dv=u∗v−∫v du\int u\ dv = u*v - \int v\ du∫u dv=u∗v−∫v du (C'est une IPP)

    In=[x(1+x2)n]01+2n∫01x2(x2+1)n+1 dxI_n = [\frac{x}{(1+x^2)^n}]_0^1 + 2n \int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}\ dxIn​=[(1+x2)nx​]01​+2n∫01​(x2+1)n+1x2​ dx

    In=[x(1+x2)n]01+2n∫01x2+1−1(x2+1)n+1dxI_n = [\frac{x}{(1+x^2)^n}]_0^1 + 2n \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{n+1}} dxIn​=[(1+x2)nx​]01​+2n∫01​(x2+1)n+1x2+1−1​dx

    In=[x(1+x2)n]01+2n∫01x2+1−1(x2+1)n+1dxI_n = [\frac{x}{(1+x^2)^n}]_0^1 + 2n \int_0^1 \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{n+1}} dxIn​=[(1+x2)nx​]01​+2n∫01​(x2+1)n+1x2+1−1​dx

    In=[x(1+x2)n]01+2n∫011(x2+1)ndx−2n∫01dx(x2+1)n+1I_n = [\frac{x}{(1+x^2)^n}]_0^1 + 2n \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^{n}} dx - 2n \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^{n+1}} In​=[(1+x2)nx​]01​+2n∫01​(x2+1)n1​dx−2n∫01​(x2+1)n+1dx​

    In=[x(1+x2)n]01+2n.InI_n = [\frac{x}{(1+x^2)^n}]_0^1 + 2n . I_n In​=[(1+x2)nx​]01​+2n.In​ - 2.I(n+1)

    désolé pour le I(n+1) de la ligne précédente écrit ainsi... mais le Latex du site bugue si on tente de l'écrire en Latex ????

    In=12n+2n.InI_n = \frac{1}{2^n}+ 2n . I_n In​=2n1​+2n.In​ - 2.I(n+1)

    2.In+1=12n+(2n−1).In2.I_{n+1} = \frac{1}{2^n}+ (2n-1) . I_n2.In+1​=2n1​+(2n−1).In​

    In+1=12n+1+(2n−1)2.InI_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}+ \frac{(2n-1)}{2} . I_nIn+1​=2n+11​+2(2n−1)​.In​

    Rien relu ... et donc erreur éventuelle à corriger

  • B

    Je poursuis ... tant qu'on y est :

    I1=[arctan(x)]01I_1 = [arctan(x)]_0^1I1​=[arctan(x)]01​ = arctan(1) = Pi/4

    Et par la relation trouvée dans ma réponse précédente :

    I2 = 1/2² + 1/2*I1
    I2 = 1/4 + Pi/8

    Vérification :
    I2=∫011(1+x2)2dxI_2 = \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2} dxI2​=∫01​(1+x2)21​dx
    IPP ...
    I2=12.[xx2+1+atan(x)]01=14+π8I_2 = \frac{1}{2}.[\frac{x}{x^2+1} + atan(x)]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}I2​=21​.[x2+1x​+atan(x)]01​=41​+8π​

    C'est OK.

  • N
    Modérateurs

    @requin-yao

    Le corrigé de cet exercice se trouve : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/integration/integration-calcul&type=fexo
    Exercice 34.

  • B

    @Black-Jack a dit dans suite avec intégrale :

    Dans ma réponse précédente, il manque un "n"

    Lire :

    In​=[x(1+x2)n]01+2n.InI_n​=[\frac{x}{(1+x^2)^ n}]_0^1+ 2n.I_n In​​=[(1+x2)nx​]01​+2n.In​- 2n.I(n+1)
    désolé pour le I(n+1) de la ligne précédente écrit ainsi... mais le Latex du site bugue si on tente de l'écrire en Latex ????

    Lé réponse finale corrigée, compte tenu de cela, devient alors :

    In+1=1n.2n+1+2n−12n.InI_{n+1} = \frac{1}{n.2^{n+1}} + \frac{2n-1}{2n}.I_nIn+1​=n.2n+11​+2n2n−1​.In​

    Erreur qui passe inaperçue évidemment avec n = 1.

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