calcul de primitive exercice

bonsoir j'ai une primitive à calculer et je galère à la trouver j'aimerais avoir de l'aide ou une indication qui va me permettre de pouvoir calculer la primitive m.
trouver une primitive de f(x) =xsin(x)^3
j'ai essayé d'appliquer certaines formules de duplications j'ai trouvé par exemple f(x)=x×sin(x)×(1-cos(x)^2) arrivé ici je galère toujours.
Merci d'avance

Bonjour,

sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)

$dx=34∫x.sin(x)dx−14∫x.sin(3x)dx\int f(x)\ dx = \frac{3}{4} \int x.sin(x) dx - \frac{1}{4} \int x.sin(3x) dx$

Chaque primitive du second membre par une IPP (par parties) ...

Exemple :

$∫x.sin(x)dx\int x.sin(x) dx$
Poser sin(x) dx = dv ---> v = -cos(x)
et poser x = u --> dx = du

$∫x.sin(x)dx=−x.cos(x)+∫cos(x)dx=...\int x.sin(x) dx = -x.cos(x) + \int cos(x) dx = ...$

Méthode similaire pour $∫x.sin(3x)dx\int x.sin(3x) dx$
...

@Black-Jack bonsoir
la fonction c'est n'est pas son(3x) mais c'est plutôt sin(x)^3 le 3 est en exposant

@Black-Jack a dit dans calcul de primitive exercice :

sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)

Comme c'est écrit, il s'agit de (sin(x))³ que l'on peut aussi écrire sin³(x), à ne pas confondre avec sin(x³)

Et on a la relation sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)

Donc sin³(x) = (3/4).sin(x) - (1/4).sin(3x)

On a donc f(x) = x * [ (3/4).sin(x) - (1/4).sin(3x) ]

f(x) = (3/4).x.sin(x) - (1/4).x.sin(3x)

Et on obtient donc ce que j'ai écrit au début de mon message précédent.

@Black-Jack j'aimerais savoir cette relation est elle présente parmi les formules de duplications parce que je ne la trouve nul part parmi ces formules là sinon j'aimerais savoir comment se faire sa démonstration
Merci beaucoup

Il suffit par exemple de connaître : (Cela fait partie des formules de base)
sin(a+b) = sin(a).cos(b)+sin(b).cos(a)
et cos(a+b) = cos(a).cos(b)-sin(b).sin(a)

avec a = x et b = 2x -->

sin(x+2x) = sin(x).cos(2x)+sin(2x).cos(x)
sin(3x) = sin(x).cos(2x)+sin(2x).cos(x)

Avec sin(2x) = sin(x+x) = 2.sin(x).cos(x)
et cos(2x) = cos(x+x) = cos²(x)-sin²(x) = 1-2sin²(x)
il vient :

sin(3x) = sin(x).(1-2sin²(x)) + 2.sin(x).cos(x).cos(x)
sin(3x) = sin(x) - 2sin³(x) + 2sin(x).cos²(x)
sin(3x) = sin(x) - 2sin³(x) + 2sin(x).(1-sin²(x))
sin(3x) = sin(x) - 2sin³(x) + 2sin(x) - 2sin³(x)
sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)

@requin-yao Bonjour,

Une démonstration avec les nombres complexes :
$sin3(x)=(eix−e−ix2i)3sin^3(x)=(\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^3$
$sin3(x)=−18i(e3ix−e−3ix−3eix+3eix)sin^3(x)=\dfrac{-1}{8i}(e^{3ix}-e^{-3ix}-3e^{ix}+3e^{ix})$

$sin3(x)=−sin(3x)4+3sin(x)4sin^3(x)=-\dfrac{sin(3x)}{4}+\dfrac{3sin(x)}{4}$