limite d'une suite définie par récurrenc
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Bonjour à tous,
je suis bloqué à la dernière question d'un problème.
Qqs données de l'énoncé
f(x)=ln(x²+4)f(x)=ln(x²+4)f(x)=ln(x²+4)
g(x)=f(x)−xg(x)=f(x)-xg(x)=f(x)−xu0=0u_0=0u0=0
un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1=f(un)
Les questions précédentes m'ont conduit à démontré que la suite 0≤un≤α0\le u_n \le \alpha0≤un≤α et est strictement croissante et dc qu'elle converge vers une limite lll.Je cherche à démontrer que l=αl=\alphal=α
Je sais que lim de unu_n unquand n tend vers +∞+ \infin+∞ =lll
et que que lim de un+1u_{n+1} un+1quand n tend vers +∞+ \infin+∞ =lllMais après je suis bloqué ... Grrr
Je suis donc preneur de vos précieux conseils
Merci par avance
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Ce n'est pas parce la suite est croissante et que alpha est un majorant que la limite L vers où la suite converge est alpha.
La suite converge ... et on sait que L <= alpha.
On peut cependant trouver la valeur de L.
Quand on a démontré que la suite convergeait ...
Soit L la valeur vers ou la suite converge.
On a :
lim(n-->+oo) U(n) = L
lim(n-->+oo) U(n+1) = LEt donc par la relation de récurrence : L = ln(L² + 4)
Relation de laquelle on peut tirer L (mais ce n'est pas immédiat et pas accessible par des fonctions usuelles)
On peut aussi le faire en étudiant la fonction f(x) = x - ln(x²+4) et approcher au final avec la précision qu'on veut, mais pas la valeur exacte de L, par approximations successives.
On trouve L = 2,1587...
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Bonjour @Black-Jack et merci tardif pour ta réponse
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Bonjour,
Tu n'as pas tout dit sur cette valeur α\alphaα que tu as dû trouver dans une question précédente de ton énoncé et que tu ne donnes pas ici...
J'imagine que l'énoncé t'a demandé d'étudier la fonction ggg
définie par g(x)=f(x)−x=ln(x2+4)−xg(x)=f(x)-x=ln(x^2+4)-xg(x)=f(x)−x=ln(x2+4)−x
Après étude, g est continue, strictement décroissante, donc bijective , de RRR vers RRR.
Tout élément de RRR (ensemble d'arrivée) à un antécédent unique dans l'ensemble de départ (RRR).
En particulier, 000 de l'ensemble d'arrivée a un antécédent unique α\alphaα dans l'ensemble de départ.
(Tu peux aussi utiliser le TVI)
Il existe un réel α\alphaα unique tel que g(α)=0\boxed{g(\alpha)=0}g(α)=0
(A la calculette α≈2.16)\alpha\approx 2.16)α≈2.16)
g(α)=0g(\alpha)=0g(α)=0 <=> f(α)−α=0f(\alpha)-\alpha=0f(α)−α=0 <=> f(α)=α\boxed{f(\alpha)=\alpha}f(α)=αAinsi, la conclusion sur la limite de la suite (Un)(U_n)(Un) est immédiate.
Après avoir prouver la convergence de la suite (Un)(U_n)(Un) définie par Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)Un+1=f(Un) , la limite LLL satisfait à : L=f(L)L=f(L)L=f(L) c'est à dire f(L)=L\fbox{f(L)=L}f(L)=L
Vu que l'équation f(x)=xf(x)=xf(x)=x a une solution réelle unique α\alphaα, nécessairement L=α\boxed{L=\alpha}L=α
CQFD
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Représentation graphique de ggg définie par :
g(x)=f(x)−x=ln(x2+4)−xg(x)=f(x)-x=ln(x^2+4)-xg(x)=f(x)−x=ln(x2+4)−x