Isométries dans le plan

[nilabou.]

Bonjour je suis en tle c J aurais vraiment besoin de vous

2. Démontrer que : fof = f.
3. a) Déterminer l'ensemble des points invariantstiques
   b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
   Le plan est muni du repère orthonormé (O, T, J*).
   Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M' de coordonnées (x'; y) telles que :
   x' =1/13(5x - 12y + 24)
   y' =1/13(- 12x - 5y + 36).
4. Démontrer que : fo f = Id.
5. Démontrer que l'ensemble des points invariants par f est une droite (9) que l'on précisera.
6. Soit M un point du plan et M' son image par f.
   a) Démontrer que le milieu de (MM'] appartient à (D).
   102
   isométries du plan - Applications affines

[Noemi]

@nilabou Bonsoir,

Il manque la question 1 et l'application $f$.

[Noemi]

@nilabou Bonjour,

Pour la question 4)
Pour démontrer que $f\circ f=Id$, tu appliques l'application $f$ deux fois.

$M^{\prime }=f(M)=\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)=\left(\frac{1}{13}(5x-12y+24),\frac{1}{13}(-12x-5y+36)\right)$

Tu applique $f$ à $M^{\prime }$ pour obtenir $f(M^{\prime })$:
$f(M^{\prime })=f\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)=\left(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }\right)$
Calcul de $x^{\prime \prime }$ et $y^{\prime \prime }$:

$x^{\prime \prime }=\frac{1}{13}(5x^{\prime }-12y^{\prime }+24)$

$x^{\prime \prime }=\frac{1}{13}\left(5\left(\frac{1}{13}(5x-12y+24)\right)-12\left(\frac{1}{13}(-12x-5y+36)\right)+24\right)$

$x^{\prime \prime }=\frac{1}{13}\left(\frac{5(5x-12y+24)}{13}+\frac{12(12x+5y-36)}{13}+24\right)$

$x^{\prime \prime }=\frac{1}{13}\left(\frac{169x-312}{13}+24\right)$

$x^{\prime \prime }=x$

$y^{\prime \prime }=\frac{1}{13}(-12x^{\prime }-5y^{\prime }+36)$
Avec une même démarche tu arrives à
$y^{\prime \prime }=y$

Tu en déduis que :
$f(f(M))=(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime })=(x,y)$
donc $f\circ f=Id$.

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.