Variations de fonctions et suite
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Bonjour pouvez vous m’aider ?
Dans cet exercice, on sera amené à utiliser la définition suivante :
Eeuaner ma ge de
une fonction f est croissante sur un intervalle I si on a, pour tous réels a et b de 1: a ≤ b → f (a) ≤ f (b) (autrement dit : deux nombres a et b de / sont toujours rangés dans le même ordre que leurs images f (a) et f (b) )
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.- Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = 3e2x - 2e 3x+1.
a. Calculer g'(x) pour tout réel x puis résoudre l'inéquation g' (x) ≥ 0 : justifier.
b. Dresser le tableau de variation de g sur R. - Soit (un) la suite définie par uo = 3, et, pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/2un+1
a. Soit f (x) = x/2x+1 : montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; + infini [.
b. Soitn un entier naturel tel que 0 ≤ Un+1 ≤ Un : justifier le fait que l'on a alors 0 ≤ Un+2 ≤ Un+1•
c. En raisonnant par récurrence, démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée par 0.
- Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = 3e2x - 2e 3x+1.
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@hiba_mrcnn Bonjour,
Question 1 : Si g(x)=3e2x−2e3x+1g(x)= 3e^{2x}-2e^{3x}+1g(x)=3e2x−2e3x+1
g′(x)=6e2x−6e3xg'(x)= 6e^{2x}-6e^{3x}g′(x)=6e2x−6e3x
soit en factorisant
g′(x)=6e2x(1−ex)g'(x)=6e^{2x}(1-e^x)g′(x)=6e2x(1−ex)
Il reste à résoudre g′(x)≥0g'(x) \geq 0g′(x)≥0 et la question b.Question 2 : f(x)=x2x+1f(x)=\dfrac {x}{2x+1}f(x)=2x+1x
La dérivée : f′(x)=2x+1−x×2(2x+1)2=....f'(x) = \dfrac{2x+1-x\times2}{(2x+1)^2}= ....f′(x)=(2x+1)22x+1−x×2=....
je te laisse poursuivre les calculs. Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.
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@Noemi
Pour la suite du b sa donne
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Reprends l'exercice dans l'ordre, question par question.
Tu indiques au début : Supposons que alors que c'est une donnée de l'énoncé.
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@Noemi
Je comprends ps je peux avoir le corriger directement ?
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Question 1 a. : Commence par résoudre : g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)≥0.
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La fonction ggg n'est pas celle que j'ai écrit dans ma première réponse ?
Est ce que g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1 ?Dans ce cas vérifie la dernière ligne de ton calcul de dérivée.
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@Noemi
Ici il demande de calculer g(x) sa dérivée
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Je reprends ma question :
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1
ou
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x)= 3e^{2x}-2e^{3x}+1g(x)=3e2x−2e3x+1Quelle est la bonne écriture, la première ou la deuxième ?
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@Noemi
Première
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Donc la dérivée est : g′(x)=6e2x−6e3x+1g'(x)=6e^{2x}-6e^{3x+1}g′(x)=6e2x−6e3x+1
si on factorise g′(x)=6e2x(1−ex+1)g'(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})g′(x)=6e2x(1−ex+1)
Pour la résolution de l'inéquation : g′(x)≥0g'(x)\geq 0g′(x)≥0
il faut résoudre 1−ex+1≥01-e^{x+1}\geq01−ex+1≥0
soit ex+1≤1e^{x+1}\leq1ex+1≤1
soit x+1≤0x+1\leq0x+1≤0
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@Noemi
Oui donc c’est ça ?
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Non, Consulte ma réponse.
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@Noemi
Oui mais vous vous êtes trompez sur le début de dérivée pouvant nous reprendre du tout début s’il vous plaît
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@Noemi
Sachant que l’on doit dérivée g(x) = 3e^2x - 2e^3x+1
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Oui, on peut reprendre des le début.
A la question :
Quelle est la bonne écriture de la fonction, la première ou la deuxième ?
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1
ou
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x)= 3e^{2x}-2e^{3x}+1g(x)=3e2x−2e3x+1Tu as répondu : la première,
donc
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1Est-ce exact ?
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@Noemi
Oui jusqu’à la
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Avec g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1
la dérivée : g′(x)=6e2x−6e3x+1g'(x)= 6e^{2x}-6e^{3x+1}g′(x)=6e2x−6e3x+1
On factorise 6e2x6e^{2x}6e2x
g′(x)=6e2x(1−ex+1)g'(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})g′(x)=6e2x(1−ex+1)Résoudre l'inéquation g′(x)≥0g'(x)\geq 0g′(x)≥0 revient à résoudre l'inéquation :
1−ex+1≥01-e^{x+1}\geq01−ex+1≥0 car e2x>0e^{2x} \gt0e2x>0pour 1−ex+1≥01-e^{x+1}\geq01−ex+1≥0 équivalent à
ex+1≤1e^{x+1}\leq1ex+1≤1 soit x+1≤0x+1\leq 0x+1≤0 ou x≤−1x\leq -1x≤−1.
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Ah oui je vois
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@Noemi
Donc il va falloir faire le tableau de variation par la suite ?
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Oui, fais le tableau de variation.
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@Noemi
Cela donne donc :
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Oui, mais il manque les limites pour la fonction ggg.
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@Noemi
Je remplace les X par -1 ?
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Oui pour g(−1)g(-1)g(−1).
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Le début est juste mais la fin fausse.
g(−1)=3e−2−2e−2g(-1)=3e^{-2}-2e^{-2}g(−1)=3e−2−2e−2
g(−1)=e−2(3−2)g(-1)=e^{-2}(3-2)g(−1)=e−2(3−2)
g(−1)=e−2g(-1)=e^{-2}g(−1)=e−2
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Merci du coup le rustre pour c’est deux questions donne ?
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Pour le tableau de variation, il manque les limites en −∞-\infty−∞ et en +∞+\infty+∞ si ton professeur les demandes.
Si non la question 1 est terminée.
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Vous pouvez résumer les 2 questions s’il vous plaît
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- a. Calcul de la dérivée :
g(x)=3e2x−2e3x+1g(x) = 3e^{2x}-2e^{3x+1}g(x)=3e2x−2e3x+1
la dérivée : g′(x)=6e2x−6e3x+1g'(x)= 6e^{2x}-6e^{3x+1}g′(x)=6e2x−6e3x+1
On factorise 6e2x6e^{2x}6e2x
g′(x)=6e2x(1−ex+1)g'(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})g′(x)=6e2x(1−ex+1)
Résolution de l'inéquation g′(x)≥0g'(x)\geq 0g′(x)≥0
Cela revient à résoudre l'inéquation :
1−ex+1≥01-e^{x+1}\geq01−ex+1≥0 car e2x>0e^{2x} \gt0e2x>0 pour tout xxx.1−ex+1≥01-e^{x+1}\geq01−ex+1≥0 équivalent à
ex+1≤1e^{x+1}\leq1ex+1≤1 ; ln(ex+1)≤ln1ln(e^{x+1})\leq ln1ln(ex+1)≤ln1 soit x+1≤0x+1\leq 0x+1≤0 ou x≤−1x\leq -1x≤−1.b. Variations de la fonction :
Pour x<−1x \lt -1x<−1, g′(x)>0g'(x)\gt0g′(x)>0 donc la fonction est croissante.
Pour x>−1x \gt -1x>−1, g′(x)<0g'(x)\lt0g′(x)<0 donc la fonction est décroissante.
pour x=−1x=-1x=−1 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 et g(−1)=3e−2−2e−2=e−2g(-1)=3e^{-2}-2e^{-2}=e^{-2}g(−1)=3e−2−2e−2=e−2
Tableau de variations
.... a compléter.
- a. Calcul de la dérivée :
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Le tableau de variation il y’a juste le e^-2 que je dois placer à la place du 10 et le - infini et plus infini sur les flèches ?
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Comme cela
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Les limites sont fausses :
à gauche 0+0^+0+ et à droite −∞-\infty−∞.
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@Noemi
Comme ceci
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Oui, c'est correct.
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Ce message a été supprimé !
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D’accord merci beaucoup maintenant pour la dernière partie qui est
Soit (un) la suite définie par uo = 3, et, pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/2un+1
a. Soit f (x) = x/2x+1 : montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; + infini [.
b. Soitn un entier naturel tel que 0 ≤ Un+1 ≤ Un : justifier le fait que l'on a alors 0 ≤ Un+2 ≤ Un+1•
c. En raisonnant par récurrence, démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée par 0.Les réponses : cela est bon ?
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Pour la question a. simplifier l'expression de la dérivée et indique le signe du numérateur.
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On sait que 0≤Un+1≤Un0 \leq U_{n+1} \leq U_n0≤Un+1≤Un. Puisque Un+1U_{n+1}Un+1 est un entier naturel, cela implique que Un+1≥0U_{n+1} \geq 0Un+1≥0.
On étudie Un+2U_{n+2}Un+2. Comme 0≤Un+1≤Un0 \leq U_{n+1} \leq U_n0≤Un+1≤Un, nous avons deux cas à examiner :
- Si Un+1>0U_{n+1} \gt 0Un+1>0, alors Un+2U_{n+2}Un+2 est également un entier naturel tel que 0≤Un+2≤Un+10 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}0≤Un+2≤Un+1.
- Si Un+1=0U_{n+1} = 0Un+1=0, alors Un+2≥0U_{n+2} \geq 0Un+2≥0 et Un+2≤Un+1=0U_{n+2} \leq U_{n+1} = 0Un+2≤Un+1=0, donc Un+2=0U_{n+2} = 0Un+2=0.
Donc 0≤Un+2≤Un+10 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}0≤Un+2≤Un+1.
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Comme ça ?
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Oui pour la simplification de la dérivée.
Pour la question b.
On sait que 0≤Un+1≤Un0 \leq U_{n+1} \leq U_n0≤Un+1≤Un. Puisque Un+1U_{n+1}Un+1 est un entier naturel, cela implique que Un+1≥0U_{n+1} \geq 0Un+1≥0.
On étudie Un+2U_{n+2}Un+2. Comme 0≤Un+1≤Un0 \leq U_{n+1} \leq U_n0≤Un+1≤Un, nous avons deux cas à examiner :
- Si Un+1>0U_{n+1} \gt 0Un+1>0, alors Un+2U_{n+2}Un+2 est également un entier naturel tel que 0≤Un+2≤Un+10 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}0≤Un+2≤Un+1.
- Si Un+1=0U_{n+1} = 0Un+1=0, alors Un+2≥0U_{n+2} \geq 0Un+2≥0 et Un+2≤Un+1=0U_{n+2} \leq U_{n+1} = 0Un+2≤Un+1=0, donc Un+2=0U_{n+2} = 0Un+2=0.
Donc 0≤Un+2≤Un+10 \leq U_{n+2} \leq U_{n+1}0≤Un+2≤Un+1.
Pour la question c.
Initialisation : Pour n=0n = 0n=0, comme U0=3U_0=3U0=3 qui est un entier naturel positif. Donc, (Un)(U_n)(Un) est bien minoré par 0.
Hérédité : On suppose que pour un entier kkk, Uk≥Uk+1≥0U_k \geq U_{k+1} \geq 0Uk≥Uk+1≥0. il faut démontrer que cela implique que Uk+1≥Uk+2≥0U_{k+1} \geq U_{k+2} \geq 0Uk+1≥Uk+2≥0.
Comme Uk≥Uk+1U_k \geq U_{k+1}Uk≥Uk+1, cela implique que Uk+1≥Uk+2U_{k+1} \geq U_{k+2}Uk+1≥Uk+2.
Ainsi, nous avons Uk+1≥Uk+2U_{k+1} \geq U_{k+2}Uk+1≥Uk+2 et Uk+2≥0U_{k+2} \geq 0Uk+2≥0.
Donc pour tout entier nnn, Un≥Un+1≥0U_n \geq U_{n+1} \geq 0Un≥Un+1≥0, donc la suite (Un)(U_n)(Un) est décroissante et minorée par 0.
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Ah d’accord je pourrais avoir le résumer avec les phrases s’il vous plaît, on indiquant les erreurs ?
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Pour la a
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Reprend toutes mes réponses, j'ai indiqué des phrases.
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Oui merci beaucoup mais je parles de la question A
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f(x)=x2x+1f(x)=\dfrac {x}{2x+1}f(x)=2x+1x la fonction fff est définie pour xxx différent de −12-\dfrac{1}{2}−21
La dérivée : f′(x)=2x+1−x×2(2x+1)2=1(2x+1)2f'(x) = \dfrac{2x+1-x\times2}{(2x+1)^2}= \dfrac{1}{(2x+1)^2}f′(x)=(2x+1)22x+1−x×2=(2x+1)21
1>01\gt01>0 et (2x+1)2>0(2x+1)^2\gt0(2x+1)2>0 donc f′(x)>0f'(x)\gt0f′(x)>0
la fonction fff est donc croissante sur l'intervalle ]−12;+∞[]-\dfrac{1}{2} ; +\infty[]−21;+∞[ donc sur l'intervalle [0;+∞[[0 ; +\infty[[0;+∞[.
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Mercii
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C'est parfait si tu as tout compris.
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Je veux sur oscillations en terminale s
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@Lamé-Fofana Bonsoir,
Propose ta question avec précision dans un nouveau sujet.