Variations de fonctions et suite

[hiba_mrcnn]

Bonjour pouvez vous m’aider ?
Dans cet exercice, on sera amené à utiliser la définition suivante :
Eeuaner ma ge de
une fonction f est croissante sur un intervalle I si on a, pour tous réels a et b de 1: a ≤ b → f (a) ≤ f (b) (autrement dit : deux nombres a et b de / sont toujours rangés dans le même ordre que leurs images f (a) et f (b) )
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Soit g la fonction définie sur R par : g (x) = 3e2x - 2e 3x+1.
   a. Calculer g'(x) pour tout réel x puis résoudre l'inéquation g' (x) ≥ 0 : justifier.
   b. Dresser le tableau de variation de g sur R.
2. Soit (un) la suite définie par uo = 3, et, pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/2un+1
   a. Soit f (x) = x/2x+1 : montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; + infini [.
   b. Soitn un entier naturel tel que 0 ≤ Un+1 ≤ Un : justifier le fait que l'on a alors 0 ≤ Un+2 ≤ Un+1•
   c. En raisonnant par récurrence, démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée par 0.

[Noemi]

@hiba_mrcnn Bonjour,

Question 1 : Si $g(x)=3e^{2x}-2e^{3x}+1$
$g^{\prime }(x)=6e^{2x}-6e^{3x}$
soit en factorisant
$g^{\prime }(x)=6e^{2x}(1-e^x)$
Il reste à résoudre $g^{\prime }(x)\ge 0$ et la question b.

Question 2 : $f(x)=\frac{x}{2x+1}$

La dérivée : $f^{\prime }(x)=\frac{2x+1-x\times 2}{(2x+1{)}^2}=....$

je te laisse poursuivre les calculs. Indique tes calculs et/ou résultats si tu souhaites une vérification.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Pour la suite du b sa donne

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Reprends l'exercice dans l'ordre, question par question.
Tu indiques au début : Supposons que alors que c'est une donnée de l'énoncé.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Je comprends ps je peux avoir le corriger directement ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Question 1 a. : Commence par résoudre : $g(x)\ge 0$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

[hiba_mrcnn]

@Noemi

[Noemi]

@hiba_mrcnn

La fonction $g$ n'est pas celle que j'ai écrit dans ma première réponse ?
Est ce que $g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$ ?

Dans ce cas vérifie la dernière ligne de ton calcul de dérivée.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Ici il demande de calculer g(x) sa dérivée

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Je reprends ma question :
$g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$
ou
$g(x)=3e^{2x}-2e^{3x}+1$

Quelle est la bonne écriture, la première ou la deuxième ?

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Première

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Donc la dérivée est : $g^{\prime }(x)=6e^{2x}-6e^{3x+1}$
si on factorise $g^{\prime }(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})$
Pour la résolution de l'inéquation : $g^{\prime }(x)\ge 0$
il faut résoudre $1-e^{x+1}\ge 0$
soit $e^{x+1}\le 1$
soit $x+1\le 0$

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Oui donc c’est ça ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Non, Consulte ma réponse.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Oui mais vous vous êtes trompez sur le début de dérivée pouvant nous reprendre du tout début s’il vous plaît

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Sachant que l’on doit dérivée g(x) = 3e^2x - 2e^3x+1

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui, on peut reprendre des le début.
A la question :
Quelle est la bonne écriture de la fonction, la première ou la deuxième ?
$g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$
ou
$g(x)=3e^{2x}-2e^{3x}+1$

Tu as répondu : la première,
donc
$g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$

Est-ce exact ?

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Oui jusqu’à la

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Avec $g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$
la dérivée : $g^{\prime }(x)=6e^{2x}-6e^{3x+1}$
On factorise $6e^{2x}$
$g^{\prime }(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})$

Résoudre l'inéquation $g^{\prime }(x)\ge 0$ revient à résoudre l'inéquation :
$1-e^{x+1}\ge 0$ car $e^{2x}>0$

pour $1-e^{x+1}\ge 0$ équivalent à
$e^{x+1}\le 1$ soit $x+1\le 0$ ou $x\le -1$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Ah oui je vois

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Donc il va falloir faire le tableau de variation par la suite ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui, fais le tableau de variation.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Cela donne donc :

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui, mais il manque les limites pour la fonction $g$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Je remplace les X par -1 ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui pour $g(-1)$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Le début est juste mais la fin fausse.
$g(-1)=3e^{-2}-2e^{-2}$
$g(-1)=e^{-2}(3-2)$
$g(-1)=e^{-2}$

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Merci du coup le rustre pour c’est deux questions donne ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Pour le tableau de variation, il manque les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ si ton professeur les demandes.
Si non la question 1 est terminée.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Vous pouvez résumer les 2 questions s’il vous plaît

[Noemi]

@hiba_mrcnn

1. a. Calcul de la dérivée :
   $g(x)=3e^{2x}-2e^{3x+1}$
   la dérivée : $g^{\prime }(x)=6e^{2x}-6e^{3x+1}$
   On factorise $6e^{2x}$
   $g^{\prime }(x)=6e^{2x}(1-e^{x+1})$

Résolution de l'inéquation $g^{\prime }(x)\ge 0$
Cela revient à résoudre l'inéquation :
$1-e^{x+1}\ge 0$ car $e^{2x}>0$ pour tout $x$.

$1-e^{x+1}\ge 0$ équivalent à
$e^{x+1}\le 1$ ; $ln(e^{x+1})\le ln1$ soit $x+1\le 0$ ou $x\le -1$.

b. Variations de la fonction :
Pour $x<-1$, $g^{\prime }(x)>0$ donc la fonction est croissante.
Pour $x>-1$, $g^{\prime }(x)<0$ donc la fonction est décroissante.
pour $x=-1$ $g^{\prime }(x)=0$ et $g(-1)=3e^{-2}-2e^{-2}=e^{-2}$
Tableau de variations
.... a compléter.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Le tableau de variation il y’a juste le e^-2 que je dois placer à la place du 10 et le - infini et plus infini sur les flèches ?

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Comme cela

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Les limites sont fausses :
à gauche $0^{+}$ et à droite $-\infty$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi
Comme ceci

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui, c'est correct.

[hiba_mrcnn]

Ce message a été supprimé !

[hiba_mrcnn]

@Noemi

D’accord merci beaucoup maintenant pour la dernière partie qui est

Soit (un) la suite définie par uo = 3, et, pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/2un+1
a. Soit f (x) = x/2x+1 : montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; + infini [.
b. Soitn un entier naturel tel que 0 ≤ Un+1 ≤ Un : justifier le fait que l'on a alors 0 ≤ Un+2 ≤ Un+1•
c. En raisonnant par récurrence, démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée par 0.

Les réponses : cela est bon ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Pour la question a. simplifier l'expression de la dérivée et indique le signe du numérateur.

[Noemi]

@hiba_mrcnn

On sait que $0\le U_{n+1}\le U_n$. Puisque $U_{n+1}$ est un entier naturel, cela implique que $U_{n+1}\ge 0$.

On étudie $U_{n+2}$. Comme $0\le U_{n+1}\le U_n$, nous avons deux cas à examiner :

1. Si $U_{n+1}>0$, alors $U_{n+2}$ est également un entier naturel tel que $0\le U_{n+2}\le U_{n+1}$.
2. Si $U_{n+1}=0$, alors $U_{n+2}\ge 0$ et $U_{n+2}\le U_{n+1}=0$, donc $U_{n+2}=0$.

Donc $0\le U_{n+2}\le U_{n+1}$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Comme ça ?

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Oui pour la simplification de la dérivée.

Pour la question b.

On sait que $0\le U_{n+1}\le U_n$. Puisque $U_{n+1}$ est un entier naturel, cela implique que $U_{n+1}\ge 0$.

On étudie $U_{n+2}$. Comme $0\le U_{n+1}\le U_n$, nous avons deux cas à examiner :

1. Si $U_{n+1}>0$, alors $U_{n+2}$ est également un entier naturel tel que $0\le U_{n+2}\le U_{n+1}$.
2. Si $U_{n+1}=0$, alors $U_{n+2}\ge 0$ et $U_{n+2}\le U_{n+1}=0$, donc $U_{n+2}=0$.

Donc $0\le U_{n+2}\le U_{n+1}$.

Pour la question c.

Initialisation : Pour $n=0$, comme $U_0=3$ qui est un entier naturel positif. Donc, $(U_n)$ est bien minoré par 0.

Hérédité : On suppose que pour un entier $k$, $U_k\ge U_{k+1}\ge 0$. il faut démontrer que cela implique que $U_{k+1}\ge U_{k+2}\ge 0$.

Comme $U_k\ge U_{k+1}$, cela implique que $U_{k+1}\ge U_{k+2}$.

Ainsi, nous avons $U_{k+1}\ge U_{k+2}$ et $U_{k+2}\ge 0$.

Donc pour tout entier $n$, $U_n\ge U_{n+1}\ge 0$, donc la suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par 0.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Ah d’accord je pourrais avoir le résumer avec les phrases s’il vous plaît, on indiquant les erreurs ?

[hiba_mrcnn]

@hiba_mrcnn

Pour la a

[Noemi]

@hiba_mrcnn

Reprend toutes mes réponses, j'ai indiqué des phrases.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Oui merci beaucoup mais je parles de la question A

[Noemi]

@hiba_mrcnn

$f(x)=\frac{x}{2x+1}$ la fonction $f$ est définie pour $x$ différent de $-\frac{1}{2}$

La dérivée : $f^{\prime }(x)=\frac{2x+1-x\times 2}{(2x+1{)}^2}=\frac{1}{(2x+1{)}^2}$
$1>0$ et $(2x+1{)}^2>0$ donc $f^{\prime }(x)>0$
la fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle $]-\frac{1}{2};+\infty [$ donc sur l'intervalle $[0;+\infty [$.

[hiba_mrcnn]

@Noemi

Mercii

[Noemi]

@hiba_mrcnn

C'est parfait si tu as tout compris.