Calcul d'une somme de puissances de x
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Taha Jourdani dernière édition par Noemi
Bonjour prenons : x^2+x=1 mq : x^10+x^9+x^7+x^5+x^3+x=1 . MERCI POUR VOTRE REPONSE ( sans utilisr la suite de fibonnaci )
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@Taha-Jourdani Bonjour,
À partir de x2+x=1x^2 + x = 1x2+x=1, on déduit : x2=1−xx^2 = 1 - xx2=1−x
On utilise cette relation pour calculer les puissances supérieures de xxx :
x3=x×x2=x(1−x)=x−x2=x−(1−x)=2x−1x^3 = x \times x^2 = x(1 - x) = x - x^2 = x - (1 - x) = 2x - 1x3=x×x2=x(1−x)=x−x2=x−(1−x)=2x−1
x4=x×x3=x(2x−1)=2x2−x=2(1−x)−x=2−3xx^4 = x\times x^3 = x(2x - 1) = 2x^2 - x = 2(1 - x) - x = 2 - 3xx4=x×x3=x(2x−1)=2x2−x=2(1−x)−x=2−3x
x5=x×x4=x(2−3x)=2x−3x2=2x−3(1−x)=5x−3x^5 = x \times x^4 = x(2 - 3x) = 2x - 3x^2 = 2x - 3(1 - x) = 5x - 3x5=x×x4=x(2−3x)=2x−3x2=2x−3(1−x)=5x−3
x6=x×x5=x(5x−3)=5x2−3x=5(1−x)−3x=5−8xx^6 = x \times x^5 = x(5x - 3) = 5x^2 - 3x = 5(1 - x) - 3x = 5 - 8xx6=x×x5=x(5x−3)=5x2−3x=5(1−x)−3x=5−8x
x7=x×x6=x(5−8x)=5x−8x2=5x−8(1−x)=13x−8x^7 = x \times x^6 = x(5 - 8x) = 5x - 8x^2 = 5x - 8(1 - x) = 13x - 8x7=x×x6=x(5−8x)=5x−8x2=5x−8(1−x)=13x−8
x8=x×x7=x(13x−8)=13x2−8x=13(1−x)−8x=13−21xx^8 = x \times x^7 = x(13x -8) = 13x^2 - 8x = 13(1 - x) - 8x = 13 - 21xx8=x×x7=x(13x−8)=13x2−8x=13(1−x)−8x=13−21x
x9=x×x8=x(13−21x)=13x−21x2=13x−21(1−x)=34x−21x^9 = x \times x^8 = x(13 - 21x) = 13x - 21x^2 = 13x - 21(1 - x) = 34x - 21x9=x×x8=x(13−21x)=13x−21x2=13x−21(1−x)=34x−21
x10=x×x9=x(34x−21)=34x2−21x=34(1−x)−21x=34−55xx^{10} = x \times x^9 = x(34x - 21) = 34x^2 - 21x = 34(1 - x) - 21x = 34 - 55xx10=x×x9=x(34x−21)=34x2−21x=34(1−x)−21x=34−55x
Tu calcules ensuite la somme indiquée :
x10+x9+x7+x5+x3+x=(34−55x)+(34x−21)+(13x−8)+(5x−3)+(2x−1)+x=1x^{10}+x^9+x^7+x^5+x^3+x=(34-55x)+(34x-21)+(13x-8)+(5x-3)+(2x - 1)+x = 1x10+x9+x7+x5+x3+x=(34−55x)+(34x−21)+(13x−8)+(5x−3)+(2x−1)+x=1
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Une autre solution plus simple :
x10+x9=x8(x2+1)=x8x^{10}+x^9=x^8(x^2+1)= x^8x10+x9=x8(x2+1)=x8
x8+x7=x6(x2+1)=x6x^8+x^7=x^6(x^2+1)=x^6x8+x7=x6(x2+1)=x6
x6+x5=x4(x2+1)=x4x^6+x^5=x^4(x^2+1)=x^4x6+x5=x4(x2+1)=x4
x4+x3=x2(x2+1)=x2x^4+x^3=x^2(x^2+1)=x^2x4+x3=x2(x2+1)=x2
et
x2+x=1x^2+x=1x2+x=1
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Une autre solution est d'ajouter et de soustraire les puissances manquantes.
x10+x9−x8+x8+x7−x6+x6+x5−x4+x4+x3−x2+x2+xx^{10}+x^9-x^8+x^8+x^7-x^6+x^6+x^5-x^4+x^4+x^3-x^2+x^2+xx10+x9−x8+x8+x7−x6+x6+x5−x4+x4+x3−x2+x2+x
=x2+x=1=x^2+x=1=x2+x=1
en factorisant et en utilisant x2+x−1=0x^2+x-1=0x2+x−1=0
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Taha Jourdani dernière édition par
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Taha Jourdani dernière édition par
@Noemi Comment x^2+1 doit etre =1 dans ce cas ce qui n est pas le cas
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Précise ta question
ce n'est pas x2+1x^2+1x2+1 mais x2+x=1x^2+x= 1x2+x=1 qui est indiqué dans l'énoncé.
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Taha Jourdani dernière édition par Taha Jourdani
@Noemi Mais vous avez tout à fait raison , sa revient au meme . En tous cas mrc pour vos réponses !
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Parfait si tu as compris les trois réponses.
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Taha Jourdani dernière édition par Taha Jourdani
@Noemi Pardonnez moi mais je n ai pas très bien compris la 2 eme
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Pour la deuxième solution, tu calcules la somme des deux premiers termes et tu ajoutes le résultat au termes suivant et ainsi de suite.
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Taha Jourdani dernière édition par
@Noemi Ah j ai mieux compris en effet c est une solution simple
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Oui la deuxième et troisième solution sont les plus simples.
