PGCD / Arithmétique dans IN
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Taha Jourdani dernière édition par
Bonsoir , determinez PGCD(2n+5,2n+1) .MRC !
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@Taha-Jourdani Bonsoir,
Utilise la relation : PGCD(a;b)=PGCD(a;b−a)PGCD(a;b)=PGCD(a;b-a)PGCD(a;b)=PGCD(a;b−a)
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Tu déduis PGCD(2n+5;2n+1)=PGCD(2n+1;4)PGCD(2n+5;2n+1)=PGCD(2n+1;4)PGCD(2n+5;2n+1)=PGCD(2n+1;4)
Le PGCDPGCDPGCD divise donc 4. les diviseurs positifs sont 111; 222; 444.
Pour déterminer la forme de nnn, tu travailles en modulo 4 avec mmm un entier
n=4mn=4mn=4m
n=4m+1n=4m+1n=4m+1
n=4m+2n=4m+2n=4m+2
n=4m+3n=4m+3n=4m+3
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Taha Jourdani dernière édition par
@Noemi J ai raisonné par disjonction des cas si n est pair :n==0[2] alors 2n+1==1[4] ( 1 et 4 son premier entre eux ) et si n est impair donc n==1[2] ====>2n+1==3[4] D ou PGCD ( 2n+5 , 2n+1 ) = 1
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Si n=4mn= 4mn=4m, tu analyses 8m+58m+58m+5 et 8m+18m+18m+1, parmi les diviseurs de 444, seul 1 divise ces deux nombres donc PGCD(2n+5;2n+1)=1PGCD(2n+5;2n+1)= 1PGCD(2n+5;2n+1)=1
Si n=4m+1n=4m+1n=4m+1 ....*Je te laisse étudier les autres cas *
Tu dois en déduire PGCD(2n+5;2n+1)=1PGCD(2n+5;2n+1)= 1PGCD(2n+5;2n+1)=1
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Autre réponse possible :
2n+52n+52n+5 et 2n+12n+12n+1 sont des nombres impairs donc ils ne peuvent pas être des multiples de 222.
Conclusion : PGCD(2n+5;2n+1)=1PGCD(2n+5;2n+1)= 1PGCD(2n+5;2n+1)=1
