Raisonnement par récurrence

Bonjour, pouvais vous m'aider sur cet exercice :
a^n+b^n=(a+b)(a^n-1-a^n-2×b+...-a×b^n-1+b^n-1) démontrer cela par un raisonnement par récurrence

@tyhgtre Bonsoir,

As-tu vérifié l'expression pour des valeurs de $n$ . ?
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$n$ doit-il être impair ?
$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

n est un nombre impair supérieur ou égal à 2

Oui, n est impair et supérieur ou égal à 2

@tyhgtre

Calcule : $a×aka\times a^k$
Soit $a^{k+1}=(a+b)(a^k-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k-2}+ab^{k-1})-ab^k$
$a+b)(a^k-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k+2}+ab^{k-1}-ab^k+b^k)-b^{k+1}$

Je te laisse conclure

Cette expression n'est pas fausse

@tyhgtre

Que veux-tu dire par "n'est pas fausse" ?

L'hérédité n'est pas bien mise en exergue pour moi

Il y a plusieurs erreurs dans ta résolution, vérifie les puissances de a et de b

@tyhgtre

Indique tes calculs, précise les erreurs que tu indiques. A noter que la relation indiquée dans l'énoncé contient une puissance fausse.

@tyhgtre

Ce que j'ai indiqué précédemment, ceux sont des éléments de réponse, c'est à toi de réaliser avec précision la résolution.
Pour l'hérédité :
On suppose que :
$a^{k}+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b+ ... -ab^{k-2}+b^{k-1})$
donc que
$a^{k}=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b+ ... -ab^{k-2}+b^{k-1})-b^k$
si tu multiplies cette relation par $a$
cela donne :
$a^{k+1}=(a+b)(a^{k}-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k-2}+ab^{k-1})-ab^k$

Relation que j'ai indiquée dans un précédent post.

C'est bon, j'ai réussi à résoudre ce problème. Merci. Mais il faut avouer que vous avez fait une erreur. Mettez votre égo de côté

@tyhgtre

Comme déjà indiqué, merci de préciser les erreurs commises afin que je puisse les rectifier.
Tu devrais aussi rectifier l'énoncé car la relation que tu as écrite est fausse.