Raisonnement par récurrence
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Ttyhgtre dernière édition par
Bonjour, pouvais vous m'aider sur cet exercice :
a^n+b^n=(a+b)(a^n-1-a^n-2×b+...-a×b^n-1+b^n-1) démontrer cela par un raisonnement par récurrence
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@tyhgtre Bonsoir,
As-tu vérifié l'expression pour des valeurs de nnn. ?
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
nnn doit-il être impair ?
a5+b5=(a+b)(a4−a3b+a2b2−ab3+b4)a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)a5+b5=(a+b)(a4−a3b+a2b2−ab3+b4)
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Ttyhgtre dernière édition par
n est un nombre impair supérieur ou égal à 2
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Ttyhgtre dernière édition par
Oui, n est impair et supérieur ou égal à 2
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Calcule : a×aka\times a^ka×ak
Soit ak+1=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk−2+abk−1)−abka^{k+1}=(a+b)(a^k-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k-2}+ab^{k-1})-ab^kak+1=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk−2+abk−1)−abk
=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk+2+abk−1−abk+bk)−bk+1= (a+b)(a^k-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k+2}+ab^{k-1}-ab^k+b^k)-b^{k+1}=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk+2+abk−1−abk+bk)−bk+1Je te laisse conclure
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Ttyhgtre dernière édition par
Cette expression n'est pas fausse
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Que veux-tu dire par "n'est pas fausse" ?
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Ttyhgtre dernière édition par
L'hérédité n'est pas bien mise en exergue pour moi
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Ttyhgtre dernière édition par
Il y a plusieurs erreurs dans ta résolution, vérifie les puissances de a et de b
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Indique tes calculs, précise les erreurs que tu indiques. A noter que la relation indiquée dans l'énoncé contient une puissance fausse.
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Ce que j'ai indiqué précédemment, ceux sont des éléments de réponse, c'est à toi de réaliser avec précision la résolution.
Pour l'hérédité :
On suppose que :
ak+bk=(a+b)(ak−1−ak−2b+...−abk−2+bk−1)a^{k}+b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b+ ... -ab^{k-2}+b^{k-1})ak+bk=(a+b)(ak−1−ak−2b+...−abk−2+bk−1)
donc que
ak=(a+b)(ak−1−ak−2b+...−abk−2+bk−1)−bka^{k}=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b+ ... -ab^{k-2}+b^{k-1})-b^kak=(a+b)(ak−1−ak−2b+...−abk−2+bk−1)−bk
si tu multiplies cette relation par aaa
cela donne :
ak+1=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk−2+abk−1)−abka^{k+1}=(a+b)(a^{k}-a^{k-1}b+ ... -a^2b^{k-2}+ab^{k-1})-ab^kak+1=(a+b)(ak−ak−1b+...−a2bk−2+abk−1)−abkRelation que j'ai indiquée dans un précédent post.
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Ttyhgtre dernière édition par
C'est bon, j'ai réussi à résoudre ce problème. Merci. Mais il faut avouer que vous avez fait une erreur. Mettez votre égo de côté
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Comme déjà indiqué, merci de préciser les erreurs commises afin que je puisse les rectifier.
Tu devrais aussi rectifier l'énoncé car la relation que tu as écrite est fausse.