Calcul de la dérivabilité en 0

[moussa koné]

Soit la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\frac{x}{e^x-1}$.
étudiez la dérivabilité en $0$ de cette fonction.
J'ai essayé mais je ne trouve pas la valeur exacte. Je tombe sur des contradictions. Ce que je sais c'est que le nombre dérivé existe et c'est $\frac{1}{2}$ mais je ne sais pas comment procéder pour trouver ce nombre 🥲

[Noemi]

@moussa-koné Bonjour, (marque de politesse à ne pas oublier !!)

On détermine d'abord la limite de $f(x)$ si $x$ tend vers $0$.
A partir de
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3$)
on déduit
$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$
Soit
$f(x)=\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)}$

$f(x)=\frac{x}{x(1+\frac{x}{2}+O(x^2))}=\frac{1}{1+\frac{x}{2}+O(x^2)}$
On calcule la limite :
${\lim }_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1+0}=1$

Donc $f(0)=1$.

Pour montrer que $f$ est dérivable en $0$, on calcule la limite du taux de variation :
$f^{\prime }(0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}$

Comme $f(h)$ tend vers $1$ quand $h$ tend vers $0$. Nous devons donc évaluer $f(h)-1$.

En utilisant le développement précédent :

$f(h)=\frac{1}{1+\frac{h}{2}+O(h^2)}\approx 1-\frac{h}{2}+O(h^2)$

Donc,

$f(h)-1\approx -\frac{h}{2}+O(h^2)$

$\frac{f(h)-1}{h}\approx -\frac{1}{2}+O(h)$

En prenant la limite lorsque $h\to 0$, nous avons :

${\lim }_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=-\frac{1}{2}$

je te laisse conclure.