Démonstration par récurrence

[kadforu]

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire la démonstration par récurrence.
U(n+1)=(5Un-1)/(Un+3), Uo=2
Démontrer par récurrence que pour n, Un>1

L'auteur a utilisé une méthode qui ne m'est pas familière.

Voici mon départ:
Pour n=0, Uo=2 donc vrai.
Supposons que (Un) est vraie au rang n fixé et montrons que U(n+1) >1
Donc Un>1
5Un>5
5Un-1>4 (le numérateur)
Un>1
Un+3>4 (le dénominateur)
Et là je bloque!

Merci d'avance.

[Noemi]

@kadforu Bonjour,

Une piste :
Tu pars de $U_n>1$
Soit $4U_n>4$
Puis
$5U_n-U_n>4$
$5U_n-1>U_n+4-1$
$5U_n-1>U_n+3$
$\frac{5U_n-1}{U_n+3}>1$

[kadforu]

Merci pour la réponse.
L'auteur est parti de U(n+1) >1, chose que je ne connaissais pas alors que d'habitude on partait de Un​>1 comme toi.
Voici le lien:
https://www.youtube.com/watch?v=Ns4Vz32cz_o

[Noemi]

@kadforu

La démonstration proposée est correcte.
On veut démontrer que $U_{n+1}>1$
On part de l'expression de $U_{n+1}-1$
$U_{n+1}-1=\frac{5U_n-1}{U_n+3}-1$

$U_{n+1}-1=\frac{5U_n-1-U_n-3}{U_n+2}=\frac{4U_n-4}{U_n+3}$

$U_{n+1}-1=4\frac{U_n-1}{U_n+3}$
On étudie ensuite le signe de l'expression
Comme $U_n>1$, alors $U_n-1>0$ et $U_n+3>4$
on déduit $U_{n+1}-1>0$
donc ....

[kadforu]

Mais est ce que ça marche dans le cas général: on peut partir de Un ou on peut partir
de U(n+1) ?

[Noemi]

@kadforu

Les deux méthodes sont correctes. Le choix peut dépendre de la relation de départ.