Etude d'une fonction avec exponentielle.

Bonjour, j’aimerai avoir de l’aide pour l’exercice :

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x - (x + 1)e^-x.
On admet que f est deux fois dérivable sur R.

Montrer que, pour tout réel x, la dérivée de f vérifie : f' (x) = 1 + xe^-x
Étude de la dérivée f'.
a. Calculer les limites de f'en -∞ et en +∞o
b. Dresser le tableau de variation de f' sur R
c. Montrer que l'équation f' (x) = 0 admet une unique solution réelle a dont on donnera une valeur approchée à 10^-3 près.
d. En déduire le signe de f'(x) en fonction de x.
A l'aide des questions précédentes :
a. Montrer que f admet un minimum sur R qui est égal à : a^2 +a+1/a
b. Étudier la convexité de f sur R: on précisera les coordonnées du point d'inflexion de sa courbe.

Bonjour,

Commence par mettre sur le site ce que tu as réussi à faire.

On pourra alors t'aider à corriger si nécessaire et te donner des pistes pour terminer.

@hiba_mrcnn Bonjour,

Pour le calcul de la dérivée :
la dérivée de $x$ est $1$
La dérivée de $x+1)e^{-x}$ forme $U×VU\times V$
soit $1×e−x−(x+1)e−x=....1\times e^{-x}-(x+1)e^{-x}= ....$

Je te laisse poursuivre le calcul.

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@hiba_mrcnn

La démonstration proposée pour la dérivée est incorrecte.
a) le calcul pour les limites est à revoir. L'étude porte sur la fonction dérivée.

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@hiba_mrcnn

Le résultat est correct mais la démonstration non.
Si tu poses $u (x)$ et $v (x)$ précise le calcul de $u^{'} (x)$ et $v^{'} (x)$
Si tu calcules directement cela donne :
$f(x) =x-(x+1)e^{-x}$
$=1-[1\times e^{-x} +(x+1)\times (-e^{-x})]$
$f'(x)= 1-[e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x}]$
soit
$f'(x)=1+xe^{-x}$
Pour les limites, détaille le calcul des limites de $xe^{-x}$

@Noemi

Ah je comprends mieux je vous mets ce que j’ai afin de pouvoir avoir une correction détaillée je vous remercie

@hiba_mrcnn

Le document est tronqué, il manque des éléments à droite.

La limite en $−∞-\infty$ est fausse, il faut trouver $−∞-\infty$ donc la partie 2 est à reprendre.

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@hiba_mrcnn

Diminue la taille de ton document afin qu'on puisse lire la totalité.
Ou as-tu obtenu cette réponse ?

Pour la limite :
si $x$ tend vers $−∞-\infty$ , $e^{-x}$ tend vers $+∞+\infty$ donc $xe^{-x}$ tend vers $−∞-\infty$ , soit $f^{'} (x)$ tend vers $−∞-\infty$ .

$f^{'} (0) = 1$

Pour le tableau de variation de $f^{'}$ , il faut calculer la dérivée seconde.
$f''(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$

Etudie le signe et fais le tableau de variations.

Je te laisse poursuivre. Indique tes calculs.

@Noemi

Oui c’est ça j’aimerai bien qu’on reprennes question par question s’il vous plaît

@Noemi

Commençons par ça

@hiba_mrcnn

Tu veux commencer par quelle question ?

@Noemi

1

@hiba_mrcnn

Pour la question 1.
Soit tu poses $u (x) = x$ et $v(x)=(x+1)e^{-x}$
puis tu calcules : $u^{'} (x) = 1$ et $v'(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}$
la dérivée : $f'(x)= u'(x)-v'(x)= 1+xe^{-x}$

Soit tu calcules directement la dérivée :
$f(x) =x-(x+1)e^{-x}$
$=1-[1\times e^{-x} +(x+1)\times (-e^{-x})]$
$f'(x)= 1-[e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x}]$
soit
$f'(x)=1+xe^{-x}$

@Noemi

D’accord ensuite je calcule la limite en moins l’infini et plus infini je trouve bien 1 ?

@hiba_mrcnn

Il faudrait indiquer tes calculs.

Si $x$ tend vers $+∞+\infty$ , $xe−x=1exxxe^{-x}= \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}$
et en $+∞+\infty$ , la limite de $exx\dfrac{e^x}{x}$ est égale à $+∞+\infty$ , donc
la limite en $+∞+\infty$ de $xe^{-x}$ est donc 0.

la limite en $+∞+\infty$ de $f^{'} (x)$ est donc 1.

Si $x$ tend vers $−∞-\infty$ , $xe^{-x}$ tend vers $−∞-\infty$ , donc
la limite en $f^{'} (x)$ est $−∞-\infty$ .

@Noemi

Avec cette écriture la ?

D’ailleurs j’ai pas compris pour la suite et ça dérive seconde c’est pour la 2 du b ?

@hiba_mrcnn

Il manque le terme "lim" dans ta démonstration.

Pour réaliser le tableau de variations de la fonction $f^{'}$ , il faut calculer sa dérivée, donc $f^{''} (x)$ et étudier son signe.

@Noemi

Ou ça j’ai bien mis le lim ?

@hiba_mrcnn

Tu écris : $lim⁡x→+∞xe−x=1exx\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xe^{-x}=\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}$ il faut écrire :
$+∞1exx=0\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xe^{-x}=\displaystyle \lim_{x\to\ +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0$

@Noemi

Donc la correction final de cet question c’est ?

@Noemi

Voilà ce que j’aurais fait j’aimerai une correction bien détaillé :

Calcul de la dérivée f'(x)

La fonction est définie par :
f(x) = x - (x + 1)e^(-x).

Pour dériver f(x), on utilise la règle de dérivation du produit et la règle de la chaîne. La dérivée de e^(-x) est -e^(-x). Donc, on a :

- d/dx [(x + 1)e^(-x)]

= 1 - [ (1)e^(-x) + (x + 1)(-e^(-x)) ]
= 1 - e^(-x) + (x + 1)e^(-x)
= 1 + xe^(-x).

Ainsi, on a montré que :
f'(x) = 1 + xe^(-x).

Étude de la dérivée f'

a. Calcul des limites de f' en -∞ et +∞ :

En -∞, e^(-x) tend vers +∞, donc :
f'(-∞) = 1 + (-∞)(+∞) = -∞.
En +∞, e^(-x) tend vers 0, donc :
f'(+∞) = 1 + (+∞)(0) = 1.

b. Tableau de variation de f' sur R : (tableau de variation je n’arrive pas à l’insérer c’est possible de le faire ?)

f'(-∞) = -∞ et f'(+∞) = 1.
f' est continue et passe de -∞ à 1. Il y a donc un minimum (au moins une solution) entre ces deux limites.

c. Montrer que f'(x) = 0 admet une unique solution réelle a :
Pour trouver l'unique solution, on résout :
1 + xe^(-x) = 0
=> xe^(-x) = -1.

Cette équation n'a qu'une solution réelle, que l'on peut approximer numériquement. En utilisant des méthodes numériques, on trouve que a ≈ -0.567.

d. Déduire le signe de f'(x) :(tableau de variation je n’arrive pas à l’insérer c’est possible de le faire ?)

Pour x < a, f'(x) < 0 (décroissante).
Pour x = a, f'(x) = 0.
Pour x > a, f'(x) > 0 (croissante).

Ainsi, f' est négatif avant a et positif après a.

Minimum de f sur R :

a. Montrer que f admet un minimum :
Puisque f' change de signe, f admet un minimum en a. Pour trouver la valeur de f(a), on remplace a dans f(x) :
f(a) = a - (a + 1)e^(-a).
En substituant a ≈ -0.567, on peut calculer f(a) et on obtient :
f(a) ≈ a^2 + a + 1/2.

b. Étudier la convexité de f sur R :
Pour cela, on calcule la dérivée seconde f''(x).
f''(x) = d/dx [f'(x)] = d/dx [1 + xe^(-x)]
= 0 + e^(-x) - xe^(-x) = e^(-x)(1 - x).

f''(x) = 0 quand x = 1.
Pour x < 1, f''(x) > 0 (convexe).
Pour x > 1, f''(x) < 0 (concave).

Le point d'inflexion est donc en (1, f(1)), où f(1) peut être calculé en substituant x = 1 dans f(x).

@hiba_mrcnn

2.a) Dans le calcul des limites, tu écris $(+∞)(0)(+\infty)(0)$ qui est une forme indéterminée donc tu peux pas en déduire directement la limite 1.
Ecris les limites de référence que tu utilises.

b) Comme déjà indiqué, pour le tableau de variation il faut calculer la dérivée seconde et étudier son signe. La réponse proposée est incorrecte.

c) La réponse se déduit à partir du tableau de variations de la fonction $f^{'}$ . Tu dois prouver que la fonction est croissante pour $x$ variant de $−∞-\infty$ à $1$ et que $f^{'} (x)$ varie de $−∞-\infty$ à $1$ . donc Il existe une valeur de $x$ telle que $f^{'} (x) = 0$ qui est bien $x≈0,567x\approx0,567$ .

d) Pour le signe de $f^{'} (x)$ , utilise le tableau de variations et le résultat de la question c).

a. Dresse le tableau de variations de la fonction $f$ . Tu calcules le minimum qui correspond à $f (a)$
b. Pour la convexité, prends en compte les résultats précédents.

@Noemi

@hiba_mrcnn

Peut-on savoir qui t'indique ces résultats ?

J'ai déjà indiqué à plusieurs reprises les erreurs. Tu devrais suivre les conseils donnés et non transmettre des éléments que tu ne maitrises pas.