Aide exercice sur la convexité etc

[tanjawiyaa]

Bonjour, j’aurais besoin d’aider je vous remercie :

Scan supprimé par la modération du site.

[Noemi]

@tanjawiyaa Bonjour,

Le scan ou un lien de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum. Seuls les scans de schémas, graphiques ou figures sont autorisés.
Écris l'énoncé, tes éléments de réponse et indique la question qui te pose problème. Tu obtiendras alors des pistes de résolution.

Le scan va être supprimé par la modération du site.

Ce sujet a déjà été posé et a obtenu des éléments de réponse.

[tanjawiyaa]

@Noemi

D’accord donc voici l’énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par: f(x) = x - (x + 1)e^-x.
On admet que f est deux fois dérivable sur R.

1. Montrer que, pour tout réel x, la dérivée de f vérifie : f' (x) = 1 + xe^-x
2. Étude de la dérivée f'.
   a. Calculer les limites de f'en -oo et en +∞o
   b. Dresser le tableau de variation de f' sur R
   c. Montrer que l'équation f' (x) = 0 admet une unique solution réelle a dont on donnera une valeur approchée à 10^-3 près.
   d. En déduire le signe de f' (x) en fonction de x.
3. A l'aide des questions précédentes :
   a. Montrer que f admet un minimum sur R qui est égal à
   a^2+a+1/a
   b. Étudier la convexité de f sur R: on précisera les coordonnées du point d'inflexion de sa courbe.

Je vais précéder question par question afin de me dire ce qu’il manque ou pas :

1. u(x) = x et u(x) = (x+1) e^-x
   Je calcule : u'(x) = 1 et v'(x) = ex-(x+1) e^-x =-xe^-x
   f' (x) = u'(x) - v'(x) = 1+хе^-х
   f(x) = x - (x+1) e^-x
   f'(x) = 1 - 1 x e^-x+(x+1) x (-e^-x)
   F’(x) = 1- e^-x - xe^-x - e^-x
   Soit : f'(x) = 1 +xe^-x

[Noemi]

@tanjawiyaa

Tu as déjà posé cet exercice et j'ai indiqué des éléments de réponse, tu aurais du continuer sur l'autre post.
Néanmoins je vais regarder tes réponses et les corrigés s'il y a lieu.
Prends en compte les éléments que j'ai déjà indiqué.

Pour la dérivée, tu as recopié avec des erreurs ce que j'ai proposé.
Il est inutile de proposer deux méthodes, une seule suffit.

Si tu choisis : $f(x)=u(x)-v(x)$
alors $u(x)=x$ donne $u^{\prime }(x)=1$ et
$v(x)=(x+1)e^{-x}$ donne $v^{\prime }(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-x{e}^{-x}$
la dérivée :
$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)-v^{\prime }(x)=1+x{e}^{-x}$

Essai de suivre cette démonstration et pose des questions si tu ne comprends pas.

Si pas de problème, propose ta réponse pour la question 2. a)

[tanjawiyaa]

@Noemi

J’ai été suspendu
D’accord

Pour la 2)a. :

En - l’infinie :

Lim E-x = + l’infini
Lim xe^-x = 0

En + l’infinie :
Lim E-x = 0
Lim xe^-x = 0

Donc Lim de f’(0) en - l’infini et plus l’infini donne 1 ?

[Noemi]

@tanjawiyaa

Non,

On demande le calcul de limite de $f^{\prime }(x)=1+x{e}^{-x}$
Si $x\mapsto -\infty$ ; $x{e}^{-x}\mapsto (-\infty )\times (+\infty )$ qui donne $-\infty$

Conclusion
$\underset{x\to -\infty }{\lim }1+x{e}^{-x}=-\infty$

Si $x\mapsto +\infty$ ; $x{e}^{-x}\mapsto (+\infty )\times 0$ qui est une forme indéterminée.
On écrit : $x{e}^{-x}=\frac{1}{\frac{e^x}{x}}$ et on
applique $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$

Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{e^x}{x}}=0$

Conclusion
$\underset{x\to +\infty }{\lim }1+x{e}^{-x}=1$

Si c'est compris, passe à la question 2.b) et calcule la dérivée seconde.
$f^{\prime \prime }(x)=....$

[tanjawiyaa]

@Noemi

2. b

[Noemi]

@tanjawiyaa

C'est correct, sauf la limite en $-\infty$ qui est $-\infty$ et non 1 !!

Passe à la question 2.c), il suffit d'analyser le tableau de variations.

[tanjawiyaa]

@Noemi

C’est seulement ça qu’il faut pour la question et donc dans le tableau je mets + et moins l’infini à la place des 1 c’est tout ?

[Noemi]

@tanjawiyaa

C'est juste le $1$ en bas à gauche qu'il faut remplacer par $-\infty$.

[tanjawiyaa]

@Noemi

Comme ça ?

J’aimerai avoir des potes pour la suite du c et d s’il vous plaît

[Noemi]

@tanjawiyaa

C'est cela.
pour la question 2. c) ; Pour $x$ variant de $-\infty$ à $1$, la fonction $f^{\prime }$ est croissante et varie de $-\infty$ à $1,368$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une valeur de $x$ telle que $f^{\prime }(x)=0.$

Tu calcules par la méthode de ton choix, à la calculatrice cette valeur.
Tu dois trouver : $-0,567$

pour la question 2. d) ; tu déduis le signe par analyse du tableau de variations et du résultat de la question c).

[tanjawiyaa]

@Noemi

Je comprends pas j’ai pas trouver ça

[Noemi]

@tanjawiyaa

Vérifie ton calcul. Tu peux procéder par dichotomie.
$f(0,367)=1,2543$ et non 0.

Pour la question d) suis les conseils donnés.

[tanjawiyaa]

@Noemi

Dichtomie c’est quoi ?

[tanjawiyaa]

@Noemi

[Noemi]

@tanjawiyaa

Regarde ce cours : https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/dichotomie.html

[Noemi]

@tanjawiyaa

Pour la question 2. d), il faut étudier le signe de $f^{\prime }(x)$
pour quelles valeurs de $x$, $f^{\prime }(x)$ est négatif ? est positif ?

[tanjawiyaa]

@Noemi

Voilà avec la suite je peux pas faire mieux

[Noemi]

@tanjawiyaa

Vérifie les intervalles et le signe de $f^{\prime }(x)$.

3. a) Le minimum est atteint pour $x=a$, calcule $f(a)$.
   Utilise le fait que $f^{\prime }(a)=0$.

[tanjawiyaa]

@Noemi

[Noemi]

@tanjawiyaa

Non,
3. a) Le minimum est atteint pour $x=a$, on calcule $f(a)$.
soit $f(a)=a-(a+1)e^{-a}$
On sait que $f^{\prime }(a)=0$, soit $1+a{e}^{-a}=0$
On isole $e^{-a}$, soit $e^{-a}=-\frac{1}{a}$
que l'on remplace dans $f(a)$
$f(a)=a-(a+1)\times (-\frac{1}{a})=\frac{a^2+a+1}{a}$

b) On utilise les résultats des questions précédentes
Pour $x$ compris entre $-\infty$ et $1$, la dérivée seconde est positive, donc sur cet intervalle la fonction est convexe.
Pour $x$ supérieur à 1, la dérivée seconde est négative, donc la fonction est concave.
Le point d'inflexion est le point de coordonnées $(1;f(1))$ soit (1; 1-2e^{-1}).

[tanjawiyaa]

@Noemi

D’accord merci beaucoup j’aimerais revenir sur la question 2) b et c j’ai toujours ps compris l’explication

[Noemi]

@tanjawiyaa

Indique les points que tu ne comprends pas.

[tanjawiyaa]

@Noemi

L’application dichotomie la méthode et tout pour réussir la question 2 b,c et d

[Noemi]

@tanjawiyaa

la question 2. b), c'est le tableau de variations. Quel élément tu n'as pas compris ?

[tanjawiyaa]

@Noemi

Je voulais une correction avec explication pour la 2 b c et d

[Noemi]

@tanjawiyaa

J'ai donné toutes les explications. Reprends les questions une par une.

2.b) Calcul de la dérivée seconde : $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$
$f^{\prime \prime }(x)=0$ si $x=1$
si $x<1$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ la fonction $f^{\prime }$ est croissante.
Si $x>1$, $f^{\prime \prime }(x)<0$, la fonction $f^{\prime }$ est décroissante.
On dresse ensuite le tableau de variations qui donne :
pour $x$ variant de $-\infty$ à 1, $-\infty$ flèche vers le haut $1,3679$, puis flèche vers le bas $1$.

[tanjawiyaa]

@Noemi

Oui mais j’ai pas le corriger des questions de ce que je vous est montré

[Noemi]

@tanjawiyaa

Consulte les éléments de réponse que j'ai indiqué dans les deux sujets.

[tanjawiyaa]

@Noemi

De ce que j’ai compris cela est :

[Noemi]

@tanjawiyaa

Pour la valeur de $a$, tu expliques que tu as fait le calcul avec la calculatrice et le tableau de valeurs.
Tu as fait varier $x$ de $-1$ à $0$ en affinant le pas.
par exemple $-1$ ; -$-0,5$ ; $0$ puis
$-0,65$ ; $-0,60$; $-0,55$ ;
....

d) Le signe de $f^{\prime }(x)$ est déduit à partir du tableau de variations?
Pour $x$ variant de $-\infty$ à $a$, $f^{\prime }(x)$ est négatif.
Pour $x$ variant de $a$ à $+\infty$, $f^{\prime }(x)$ est positif.

[tanjawiyaa]

@Noemi

Ah comme cela sinon tout est bon ?


[tanjawiyaa]

@Noemi

Merci il y’a bien un 0 entre positif et négatif ?

[Noemi]

@tanjawiyaa

Pour $x=a$, $f^{\prime }(x)=0$ cela a été démontré précédemment.