démo d'une identité trigo

Bonjour,
je me rappelle avoir vu il y a 1 an une démonstration de l'égalité suivant :
cos( a+b ) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
Il fallait poser une fonction, il me semble que c'était la fonction f définie sur R par f(x) = cos(x+b)-cos(x)cos(b)+sin(x)sin(b), il fallait la dériver obtenir 0 en déduire que f est constant puis en l'évaluant en des valeurs biens choisis en déduire que f(x)=0 pour tout réel x.
Mais voilà après avoir dérivé la fonction je suis bloqué on obtient :
f'(x)=-sin(x+b)+sin(x)cos(b)+cos(x)sin(b)
Ce qui ne permet pas de conclure que f'(x)=0.
J'ai cherché hier toute la soirée la démo sur internet et dans quelques livre que j'ai chez moi mais rien, toutes les démos sont soit basé sur le produit scalaire, les nombres complexes ou encore sur des procédes géométriques.
Je voulais donc savoir si quelqu'un connaissait cette démo.
Hâte d'avoir vos retours

@André-mathis Bonjour,

Pour conclure que $f^{'} (x) = 0$ , tu utilises dans la dérivée la relation trigonométrique de $s i n (x + b) = . . .$ .

bonsoir,
Le but étant de les démontrer on a pas le droit d'utiliser cette égalité car comment dans ce cas on la démontrerait ?

@André-mathis

Une autre piste :
A partir de la fonction indiquée, calcule la dérivée seconde et résous l'équation
différentielle $f^{''} (x) + f (x) = 0$
Pour déterminer les constantes, tu choisis deux valeurs particulières pour $x$
par exemple $0$ et $π2\dfrac{\pi}{2}$ .