Trigonométriques classe de première ccc

Re : Trigonométriques classe de première c

Pour réaliser cette fugue géométrique et montrer que les distances $$ AB $$ et $$ CD $$ sont égales, on commence par exprimer ces distances à partir des coordonnées des points sur le cercle trigonométrique.

Les points sont donnés par :

$$ A(\cos a, \sin a) $$
$$ B(\cos b, \sin b) $$
$$ C(1, 0) $$
$$ D(\cos(a - b), \sin(a - b)) $$

La distance entre deux points $$ M(x_M, y_M) $$ et $$ N(x_N, y_N) $$ dans un plan est donnée par la formule :
$$
d(M,N) = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}
$$

Calcul de la distance $$ AB $$ :
$$
AB = \sqrt{(\cos b - \cos a)^2 + (\sin b - \sin a)^2}
$$

Développons l’expression sous la racine :
$$
(\cos b - \cos a)^2 + (\sin b - \sin a)^2 = (\cos^2 b - 2\cos a \cos b + \cos^2 a) + (\sin^2 b - 2 \sin a \sin b + \sin^2 a)
$$

On regroupe :
$$
= (\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)
$$

Or, pour tout angle $$ \theta $$,
$$
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
$$

Donc :
$$
= 1 + 1 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) = 2 - 2 \cos(a - b)
$$

(car $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$).

Ainsi :
$$
AB = \sqrt{2 - 2 \cos(a - b)} = \sqrt{2(1 - \cos(a - b))}
$$

Calcul de la distance $$ CD $$ :
$$
CD = \sqrt{(\cos(a - b) - 1)^2 + (\sin(a - b) - 0)^2} = \sqrt{(\cos(a - b) - 1)^2 + \sin^2(a - b)}
$$

Développons :
$$
= \sqrt{\cos^2(a - b) - 2 \cos(a - b) + 1 + \sin^2(a - b)}
$$

En utilisant encore $$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$, on obtient :
$$
= \sqrt{1 - 2 \cos(a - b) + 1} = \sqrt{2 - 2 \cos(a - b)} = \sqrt{2(1 - \cos(a - b))}
$$

Conclusion :
On a donc bien :
$$
AB = CD = \sqrt{2(1 - \cos(a - b))}
$$

Ce qui prouve que les distances $$ AB $$ et $$ CD $$ sont égales, comme annoncé.

Cette démonstration utilise uniquement la formule de la distance dans le plan et les formules trigonométriques classiques, notamment la formule de l’angle pour le cosinus de la différence d’angles.