Logique baccalaureat
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Sara Salmaoui dernière édition par
Soients a,b et c trois reèls strictement positifs .montrer que si abc=1 alors (a+1/b)^2+(b+1/c)^2+(c+1/a)^2 superieur ou egale a 3*(a+b+c+1)
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@Sara-Salmaoui Bonsoir, (Marque de politesse à ne pas oublier !)
Soit a, b, c > 0 avec abc = 1. On a 1/b = ac, donc
a+1b=a+ac=a(1+c)a + \dfrac{1}{b} = a + ac = a(1 + c)a+b1=a+ac=a(1+c),b+1c=b(1+a)b + \dfrac{1}{c} = b(1 + a)b+c1=b(1+a),
c+1a=c(1+b)c + \dfrac{1}{a} = c(1 + b)c+a1=c(1+b).
Ainsi l'expression cherchée s'écrit
(a+1/b)2+(b+1/c)2+(c+1/a)2=a2(1+c)2+b2(1+a)2+c2(1+b)2(a+1/b)^2 + (b+1/c)^2 + (c+1/a)^2 = a^2(1+c)^2 + b^2(1+a)^2 + c^2(1+b)^2(a+1/b)2+(b+1/c)2+(c+1/a)2=a2(1+c)2+b2(1+a)2+c2(1+b)2.Utilise ensuite l'inégalité de Gauchy Schwarz.
