normaliser une base de l'espace

Bonjour,
J'ai cherché sur internet comment normaliser une base de l'espace mais je n'est rien trouvé!
Dans mes souvenir, on divise les vecteurs de la base par la norme de ... mais je ne suis pas sur!
Merci d'avance.

@kadforu Bonjour,

Regarde ces cours : https://major-prepa.com/mathematiques/utilisation-procede-orthonormalisation-gram-schmidt-copy/
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./s/schmidt.html&special=imprimable

Bonjour,
Merci pour la réponse.
Personnellement, je n'ai qu'un vieux bac.
Je n'ai jamais étudié l'algèbre linéaire.
Le lien me rappelle, si j'ai bien compris, pour orthonormaliser une base on divise chaque vecteur par sa norme ?

Bonjour,

@kadforu, dans ta question de départ, tu parlais de "normaliser une base de l'espace", donc sans notion d'orthogonalité.

Je réponds à ta question de départ.

Ton idée est bonne.
Je tente de te l'expliciter un peu.

L'ensemble des vecteurs de l'espace est muni d'une base $(i→,j→,k→)(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de trois vecteurs non nuls et non coplanaires.

Tout vecteur $U→\overrightarrow{U}$ a trois coordonnées $x, y, z$ réelles telles que $U→=xi→+yj→+zk→\overrightarrow{U}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$
La norme de $U→\overrightarrow{U}$ est :
$∣∣U→∣∣=x2+y2+z2||\overrightarrow{U}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Pour $U→\overrightarrow{U}$ non nul, soit $V→\overrightarrow{V}$ le vecteur défini par :
$V→=1∣∣U→∣∣×U→\overrightarrow{V}=\dfrac{1}{||\overrightarrow{U}||}\times \overrightarrow{U}$

Ce vecteur est colinéaire à $U→\overrightarrow{U}$ , de même sens et de norme 1 (fais le calcul) : il est normalisé.

Soit une base $=(\overrightarrow{U_1},\overrightarrow{U_2},\overrightarrow{U_3})$ .

La base $=(\overrightarrow{V_1},\overrightarrow{V_2},\overrightarrow{V_3})$ obtenue en divisant chaque vecteur de la base $B$ par sa norme respective, est la base normalisée associée à la base $B$

Cette base $B^{'}$ a les mêmes propriétés que la base $B$ mais ces trois vecteurs ont pour norme 1.

@mtschoon a dit dans normaliser une base de l'espace :

dans ta question de départ, tu parlais de "normaliser une base de l'espace", donc sans notion d'orthogonalité

Oui, sous entendu une base orthogonale.

@kadforu , bonjour.

Dans l'espace "usuel", une base est dite orthogonale si les trois vecteurs qui la constituent sont orthogonaux deux à deux (produits scalaires nuls).
La normalisation ne transforme que les normes des vecteurs ( ni leurs directions , ni leurs sens).

Si la base B est orthogonale, après normalisation, la base B' sera à la fois orthogonale et normée, c'est à dire orthonormée.

Si la base B n'est pas orthogonale, la base B' ne sera pas orthogonale mais elle sera normée.

Bonnes réflexions.

Merci, maintenant j'ai tout compris.

De rien @kadforu !
C'est parfait si tout est clair pour toi.